Представим, что материальная точка переместилась из точки $A$ в точку $B$, а затем из точки
$B$ в точку $C$. Эти два перемещения можно представить векторами $\overrightarrow{AB}$ и
$\overrightarrow{BC}$. В результате обоих перемещений точка оказалась там же, куда её перенёс
бы один-единственный вектор $\overrightarrow{AC}$. Поэтому вектор $\overrightarrow{AC}$
естественно назвать суммой векторов $\overrightarrow{AB}$ и
$\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
💡 Из жизни: турист прошёл 20 км на восток из города $A$ в город $B$, а
потом ещё 30 км на восток в город $C$. Общее перемещение туриста из $A$ в $C$ — это и есть
сумма перемещений $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Определение (правило треугольника). Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два вектора.
Отметим произвольную точку $A$ и отложим от неё вектор $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$. Затем от
точки $B$ отложим вектор $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Вектор $\overrightarrow{AC}$
называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} + \vec{b}$.
Можно доказать, что результат не зависит от выбора точки $A$: если вместо неё взять другую
точку $A_1$ и повторить построение, получится вектор, равный прежнему $\overrightarrow{AC}$
(доказательство — через два параллелограмма $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$, откуда следует, что
$AA_1C_1C$ тоже параллелограмм). Значит, сумма векторов определена корректно — она не зависит
от того, откуда мы начали откладывать.
Складывая по правилу треугольника произвольный вектор $\vec{a}$ с нулевым вектором, получаем
равенство, справедливое для любого вектора: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.
🧠 Правило треугольника коротко: если $A$, $B$, $C$ — произвольные точки плоскости, то
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Равенство верно для
любых точек — даже если некоторые из них совпадают.
Потяни векторы на вкладке
«Треугольник» справа — конец первого вектора
всегда является началом второго, а сумма замыкает построение.
83. Законы сложения. Правило параллелограмма
Теорема. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы
равенства:
Доказательство переместительного закона (через параллелограмм)
1
Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. От
произвольной точки $A$ отложим векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и
$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ и построим на них параллелограмм $ABCD$.
2
По правилу треугольника через вершины $A \to B \to C$:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$,
ведь $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$ (противоположные стороны
параллелограмма равны и сонаправлены).
3
По правилу треугольника через вершины $A \to D \to C$:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \vec{b} + \vec{a}$,
ведь $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$.
4
Оба пути ведут к одному и тому же вектору $\overrightarrow{AC}$ — диагонали
параллелограмма. Значит, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
Случай коллинеарных векторов разбирается отдельно и здесь не показан.
Правило параллелограмма. Чтобы сложить неколлинеарные векторы $\vec{a}$ и
$\vec{b}$, нужно отложить от какой-нибудь точки $A$ векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и
$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ и построить параллелограмм $ABCD$. Тогда вектор
$\overrightarrow{AC}$ (диагональ, выходящая из $A$) равен $\vec{a} + \vec{b}$. Это правило часто
используют в физике — например, при сложении двух сил.
Потяни точки $B$ и $D$ на вкладке
«Параллелограмм».
84. Сумма нескольких векторов. Правило многоугольника
Сложение нескольких векторов производится так: первый вектор складывается со вторым, их сумма —
с третьим, и так далее. Из законов сложения следует, что результат не зависит от порядка
слагаемых.
Правило многоугольника. Чтобы сложить векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$,
..., от произвольной точки $A_1$ откладывают вектор $\overrightarrow{A_1A_2} = \vec{a}$, затем
от точки $A_2$ откладывают $\overrightarrow{A_2A_3} = \vec{b}$, от $A_3$ — следующий вектор, и
так до конца. Сумма всех векторов — это вектор $\overrightarrow{A_1A_n}$ от начала первого до
конца последнего:
$$\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \dots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}.$$
Это равенство справедливо для любых точек $A_1, A_2, \dots, A_n$ — в частности, если начало
первого вектора совпадает с концом последнего (ломаная замкнулась), то сумма всех векторов
равна нулевому вектору.
Собери цепочку из нескольких векторов на вкладке
«Многоугольник» — подвигай точки-звенья и
посмотри, как замыкающий вектор соединяет самое начало с самым концом.
85. Вычитание векторов
Определение.Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
называется такой вектор, сумма которого с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$.
Обозначается: $\vec{a} - \vec{b}$.
Задача. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Построить вектор $\vec{a} - \vec{b}$.
Отметим точку $O$ и отложим от неё $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.
По правилу треугольника $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}$, то
есть $\vec{b} + \overrightarrow{BA} = \vec{a}$. По определению разности это и значит, что
$\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}$ — вектор от конца вычитаемого к концу уменьшаемого
(при общем начале $O$).
Противоположный вектор. Пусть $\vec{a}$ — ненулевой вектор. Вектор,
противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается $-\vec{a}$: он имеет ту же длину, что и
$\vec{a}$, но направлен противоположно. Противоположным нулевому вектору считается нулевой
вектор. Очевидно, $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.
Доказательство теоремы о разности двух векторов
Теорема. Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
справедливо равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
Прибавим к обеим частям этого равенства вектор $-\vec{b}$:
$$(\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{a} + (-\vec{b}).$$
3
Так как $\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}$, левая часть равна
$(\vec{a} - \vec{b}) + \vec{0} = \vec{a} - \vec{b}$. Значит,
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Теорема доказана.
Отсюда — второй способ построения разности: отложить от точки $O$ вектор
$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, затем от точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB} = -\vec{b}$
(противоположный вектору $\vec{b}$). Тогда $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$.
Сравни оба способа на вкладке
«Вычитание».
⚠️ Частая ошибка: при вычитании векторов «по стрелке» (первый способ) многие
путают направление разностного вектора — куда именно должна указывать стрелка. Запомни:
$\vec{a} - \vec{b}$ при общем начале $O$ — это вектор, идущий от конца $\vec{b}$ к концу
$\vec{a}$ (не наоборот). Ещё одна ошибка — забывать, что правило параллелограмма
работает только для неколлинеарных векторов: если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат
на одной прямой, параллелограмм просто не строится, и нужно правило треугольника.
🧠 Запомни:
Правило треугольника: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ —
конец первого вектора совпадает с началом второго.
Правило параллелограмма (для неколлинеарных): диагональ $ABCD$ из общей точки $A$ равна
сумме векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$.