§3. Умножение вектора на число

86. Произведение вектора на число

      💡 Из жизни: первый автомобиль едет прямолинейно с постоянной скоростью
      $\vec{v}$. Второй едет в ту же сторону, но вдвое быстрее — его скорость естественно обозначить
      $2\vec{v}$: направление то же, а длина вектора вдвое больше. Третий едет навстречу первому с той
      же по величине скоростью, что и второй, — его скорость это $-2\vec{v}$: длина та же, что у
      $2\vec{v}$, а направление противоположно.
    

Определение. Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $\vec{b}$, что:

длина $\vec{b}$ равна $|k| \cdot |\vec{a}|$;
векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены при $k \ge 0$ и противоположно направлены при $k < 0$.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Обозначается: $k\vec{a}$.

Из определения сразу следует:

произведение любого вектора на число $0$ есть нулевой вектор;
при любом числе $k$ векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$ коллинеарны — они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

🧠 Потяни точку $A$ и подвигай ползунок $k$ на вкладке «Умножение на число» справа — при $k$ от $-2$ до $2$ посмотри, как вектор $k\vec{a}$ меняет длину и в какой момент разворачивается в обратную сторону.

86. Свойства умножения вектора на число

Теорема. Для любых чисел $k$, $l$ и любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ справедливы равенства:

$(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$ (сочетательный закон);
$(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ (первый распределительный закон);
$k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ (второй распределительный закон).

Доказательство второго распределительного закона

От точки $O$ отложим $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, тогда $\overrightarrow{OB} = \vec{a}+\vec{b}$. Треугольники $OAB$ и $OA_1B_1$ подобны с коэффициентом подобия $k$ (точки $A_1$, $B_1$ построены растяжением из $O$ в $k$ раз).

      💡 Пример (упрощение выражения). Свойства действий над векторами позволяют
      преобразовывать векторные выражения по тем же правилам, что и числовые. Упростим
      $\vec{p} = 2(\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{c}+\vec{a}) - 3(\vec{b}-\vec{c}+\vec{a})$:
      1
Раскроем скобки, используя распределительные законы:
            $$\vec{p} = 2\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} + \vec{a} - 3\vec{b} + 3\vec{c} - 3\vec{a}.$$
2
Сгруппируем и сложим коэффициенты при каждом векторе отдельно (как при приведении
            подобных слагаемых): по $\vec{a}$: $2+1-3=0$; по $\vec{b}$: $-2-3=-5$; по $\vec{c}$: $1+3=4$.
3
Получаем:   $\vec{p} = -5\vec{b} + 4\vec{c}$.

🧠 Подвигай ползунок $k$ на вкладке «Свойства» — увидишь, как весь маленький треугольник $OAB$ растягивается из точки $O$ в $k$ раз, оставаясь подобным самому себе.

87–88. Применение векторов. Средняя линия трапеции

Векторы удобно использовать для доказательства геометрических теорем: вместо построений циркулем и линейкой достаточно сложить, вычесть или умножить на число несколько векторов. Полезная вспомогательная формула: если $C$ — середина отрезка $AB$, а $O$ — произвольная точка плоскости, то $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ — она получается сложением равенств $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}$ с учётом того, что $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.

Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($M$ — середина $AB$, $N$ — середина $DC$). Докажем, что $MN \parallel AD$ и $MN = \dfrac{AD+BC}{2}$.

🧠 Потяни основания $AD$ и $BC$ на вкладке «Средняя линия трапеции» — средняя линия $MN$ всегда остаётся горизонтальной (параллельной основаниям), а её длина всегда равна их полусумме.

⚠️ Частая ошибка: при умножении на отрицательное число многие путают знак и думают, что $-2\vec{a}$ «направлен туда же, но короче» или просто меняют длину, забывая развернуть вектор. На самом деле множитель $k$ отвечает сразу за два свойства: $|k|$ меняет длину, а знак $k$ определяет направление — при $k<0$ вектор всегда разворачивается на 180°. Ещё одна ошибка — считать, что $k\vec{a}$ и $\vec{a}$ обязательно лежат на одной прямой в смысле «совпадают линии на чертеже»: правильно говорить, что они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых).

🧠 Запомни:

$k\vec{a}$ — вектор длины $|k|\cdot|\vec{a}|$, сонаправленный с $\vec{a}$ при $k\ge 0$ и противоположно направленный при $k<0$.
$\vec{a}$ и $k\vec{a}$ всегда коллинеарны, любое $k$.
Законы: $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$; $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$; $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
Если $C$ — середина $AB$, то $\overrightarrow{OC}=\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ для любой точки $O$.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $MN = \dfrac{AD+BC}{2}$.