§1. Понятие вектора — Геометрия 9 класс

Понятие вектора

Многие физические величины — сила, скорость, перемещение тела — характеризуются не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие величины называют векторными.

        💡 Из жизни: на тело действует сила в 8 Н. Силу изображают отрезком со стрелкой:
        стрелка указывает направление силы, а длина отрезка в выбранном масштабе — её числовое значение.
        Отвлечёмся от физики и придём к чисто геометрическому понятию вектора.
      

На любом отрезке можно указать два направления — от одной граничной точки к другой и наоборот. Чтобы выбрать одно из них, одну граничную точку называют началом, а другую — концом, и считают, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение. Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком, или вектором.

Вектор изображают отрезком со стрелкой, показывающей его направление, и обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой над ними: $\overrightarrow{AB}$ — первая буква обозначает начало вектора, вторая — конец. Векторы часто обозначают и одной строчной буквой со стрелкой: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Потяни точки $A$ и $B$ на вкладке «Вектор» — стрелка вектора $\overrightarrow{AB}$ всегда идёт от начала к концу.

Условимся, что любая точка плоскости тоже является вектором — таким называется нулевой вектор: его начало совпадает с концом. Нулевой вектор обозначают символом $\vec{0}$ (например, $\overrightarrow{MM}$). Нулевой вектор не имеет какого-либо определённого направления.

Длиной (или модулем) ненулевого вектора $\overrightarrow{AB}$ называется длина отрезка $AB$; обозначается $|\overrightarrow{AB}|$ (или $|\vec{a}|$). Длина нулевого вектора считается равной нулю: $|\vec{0}| = 0$.

Равенство векторов

Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки — векторная величина: направленный отрезок, начало которого совпадает с этой точкой. Все эти направленные отрезки имеют одно и то же направление и равные длины. Этот пример подсказывает, как определить равенство векторов — но сначала нужно понятие коллинеарности.

Определение. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых коллинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ направлены одинаково, их называют сонаправленными: $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$. Если направлены противоположно — противоположно направленными: $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$. Условимся, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Потяни вектор $\vec{b}$ на вкладке «Коллинеарность» — статус меняется в зависимости от того, как он расположен относительно вектора $\vec{a}$.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны: $\vec{a} = \vec{b}$, если $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$ и $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

На вкладке «Равенство векторов» подвигай вектор $\vec{b}$ так, чтобы он стал равен вектору $\vec{a}$, — оба условия (направление и длина) должны совпасть одновременно.

Откладывание вектора от данной точки

Если точка $M$ — начало вектора $\vec{a}$, говорят, что вектор $\vec{a}$ отложен от точки $M$.

Теорема. От любой точки $M$ можно отложить вектор, равный данному вектору $\vec{a}$, и притом только один.

Потяни точку $M$ на вкладке «Откладывание от точки» — от неё автоматически строится вектор, равный данному.

Доказательство теоремы об откладывании вектора

        💡 Замечание: равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной
        и той же буквой и говорят, что это «один и тот же вектор, но отложенный от разных точек» — так
        обозначены, например, равные векторы скорости разных точек движущегося тела.
      

⚠️ Частая ошибка: считать, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — это один и тот же вектор. На самом деле у них общая длина и общая прямая, но направления противоположны: $\overrightarrow{AB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BA}$, и они равны только в случае, когда оба нулевые. Ещё одна ошибка — считать векторы равными только потому, что у них одинаковая длина, забывая проверить направление: равенство векторов требует выполнения обоих условий сразу — сонаправленности и равенства длин.

🧠 Запомни:

Вектор — направленный отрезок: важны и длина, и направление.
Нулевой вектор: начало совпадает с концом, направления не имеет, условно сонаправлен с любым вектором.
Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные ненулевые векторы бывают сонаправленными ($\uparrow\uparrow$) или противоположно направленными ($\uparrow\downarrow$).
Векторы равны $\iff$ они сонаправлены и их длины равны.
От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Понятие вектора

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Доказательство теоремы об откладывании вектора

Закрепи в практике