💡 Из жизни: GPS-навигатор «знает» дорогу не как картинку, а как уравнение — набор
условий на координаты $(x;y)$. Любая точка, которая этим условиям удовлетворяет, лежит на дороге, любая
другая — нет. Так же и в геометрии: линию можно задать не рисунком, а уравнением.
Определение. Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением
линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии $L$ и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Например, график функции $y=x$ — это прямая $OA$, проходящая через точки $O(0;0)$ и $A(1;1)$: координаты
любой точки на этой прямой удовлетворяют уравнению $y=x$, а координаты точки вне прямой — нет.
При изучении линий методом координат возникают две взаимно обратные задачи: 1) по
геометрическим свойствам линии найти её уравнение; 2) по уравнению линии исследовать её геометрические
свойства. Ниже разберём первую задачу для двух важнейших линий — окружности и прямой.
94. Уравнение окружности
Теорема. В прямоугольной системе координат уравнение
окружности радиуса $r$ с центром в точке $C(a;b)$ имеет
вид
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$
1
Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка плоскости. Расстояние от $M$ до центра $C(a;b)$ по формуле
расстояния между двумя точками равно
$$MC=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.$$
2
Если точка $M$ лежит на окружности, то $MC=r$, значит и $MC^2=r^2$ — то есть координаты $M$
удовлетворяют уравнению $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
3
Если же $M$ не лежит на окружности, то $MC\ne r$, поэтому $MC^2\ne r^2$, и
координаты $M$ этому уравнению не удовлетворяют. Значит, это и есть уравнение окружности.
Теорема доказана. В частности, при центре в начале координат уравнение принимает
простой вид $x^2+y^2=r^2$.
Задача. Найдите уравнение окружности с центром в точке $(-3;4)$, проходящей через начало
координат.
1
Центр окружности $(-3;4)$, поэтому уравнение можно сразу записать в виде
$(x+3)^2+(y-4)^2=r^2$, где $r$ — пока неизвестный радиус.
2
Окружность проходит через $O(0;0)$, значит координаты $O$ удовлетворяют уравнению:
$(0+3)^2+(0-4)^2=r^2 \Rightarrow 9+16=r^2 \Rightarrow r^2=25 \Rightarrow r=5$.
🧠 Потяни центр $C$, точку на окружности (задаёт радиус) и свободную точку $M$ на вкладке
«Окружность» справа — уравнение и статус точки
пересчитываются сами.
95. Уравнение прямой
💡 Из жизни: представь две вышки сотовой связи $A$ и $B$ — граница зоны, где сигнал от
обеих одинаково силён (равноудалённая от обеих зона), это прямая линия, серединный перпендикуляр к
отрезку $AB$. Именно так вывели общее уравнение прямой в учебнике.
Теорема. Уравнение прямой в прямоугольной
системе координат имеет вид
$$ax+by+c=0,$$
где хотя бы один из коэффициентов $a$, $b$ отличен от нуля — то есть это уравнение первой степени.
1
Отметим точки $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ так, чтобы прямая $l$ была серединным перпендикуляром к
отрезку $AB$. Если $M(x;y)$ лежит на $l$, то $AM=BM$, то есть $AM^2=BM^2$.
2
По формуле расстояния между двумя точками это равенство записывается так:
$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2.$$
Если $M$ не лежит на $l$, то $AM^2\ne BM^2$, и координаты $M$ этому уравнению не удовлетворяют.
3
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем уравнение $ax+by+c=0$, где
$a=2(x_1-x_2)$, $b=2(y_1-y_2)$, $c=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2$. Так как $A\ne B$, хотя бы одна из
разностей $(x_1-x_2)$, $(y_1-y_2)$ не равна нулю — значит хотя бы один из $a$, $b$ отличен от нуля.
Теорема доказана.
Если $b\ne0$, уравнение можно переписать в привычном виде $y=kx+d$, где $k=-\dfrac{a}{b}$ —
угловой коэффициент прямой. Можно доказать: две прямые (не параллельные оси $Oy$)
параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.
Прямая $l$, проходящая через точку $M_0(x_0;y_0)$ параллельно оси $Oy$, задаётся уравнением $x=x_0$
(абсцисса любой точки прямой равна $x_0$). В частности, ось $Ox$ имеет уравнение $y=0$, а ось $Oy$ —
уравнение $x=0$. Смотри вкладку
«Частные случаи» справа.
Другая задача: напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки
$A(1;-1)$ и $B(-3;2)$.
1
Уравнение прямой $AB$ ищем в виде $ax+by+c=0$. Так как $A$ и $B$ лежат на прямой, их координаты
удовлетворяют уравнению: $a\cdot1+b\cdot(-1)+c=0$ и $a\cdot(-3)+b\cdot2+c=0$.
2
Из системы $a-b+c=0,\ -3a+2b+c=0$ выражаем: $a=3c$, $b=4c$. При любом $c\ne0$ уравнение
$3cx+4cy+c=0$ задаёт прямую $AB$; сократив на $c$, получаем $3x+4y+1=0$.
🧠 Потяни точки $A$ и $B$ на вкладке «Прямая» справа —
серединный перпендикуляр и коэффициенты $a,b,c$ пересчитываются сами.
96. Взаимное расположение двух окружностей
Пусть окружности имеют радиусы $r\le R$, а расстояние между их центрами равно $d$. Возможны случаи:
$d=0$ — окружности концентрические (общий центр), меньшая лежит внутри
большей.
$d \lt R-r$ — одна окружность целиком лежит внутри другой, общих точек нет.
$d=R-r$ — окружности касаются изнутри (ровно одна общая точка).
$R-r \lt d \lt R+r$ — окружности пересекаются в двух точках.
$d=R+r$ — окружности касаются извне (ровно одна общая точка).
$d \gt R+r$ — окружности лежат одна вне другой, общих точек нет.
🧠 Подвигай центры и радиусы на вкладке
«Взаимное расположение» справа — все шесть случаев можно
получить перетаскиванием.
⚠️ Частая ошибка: при записи уравнения окружности с центром $C(a;b)$, где $a$ или $b$
отрицательны, путают знак: центр $(-3;4)$ даёт слагаемые $(x-(-3))^2=(x+3)^2$ и $(y-4)^2$ — минус на
минус даёт плюс, а не наоборот. Всегда подставляй координаты центра именно как $(x-a)^2+(y-b)^2$, а
потом уже раскрывай скобки.
🧠 Запомни:
Окружность: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, центр $C(a;b)$; при центре в начале координат — $x^2+y^2=r^2$.
Прямая (общий вид): $ax+by+c=0$ — уравнение первой степени, хотя бы один из $a,b$ не равен нулю.