100. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
💡 Из жизни: представь колесо обозрения радиусом 1 (в условных единицах), центр которого
закреплён в начале координат. Кабинка M едет по верхней половине
колеса. В любой момент луч из центра к кабинке образует какой-то угол α с горизонталью. Высота кабинки
над центром — это и есть синус угла α, а её смещение по горизонтали от центра —
косинус. Пока кабинка едет по правой половине круга, смещение положительное; как только
она переваливает через самую верхнюю точку и уходит на левую половину (угол становится тупым), высота
всё ещё положительна, а вот горизонтальное смещение становится отрицательным — кабинка «ушла назад».
Ты уже умеешь находить синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
(см. §4 главы VII, 8 класс). Сейчас это
определение обобщается на любой угол от 0° до 180° — то, что нужно для дальнейшей работы
с произвольными треугольниками, а не только прямоугольными.
Определение. Построим прямоугольную систему координат $Oxy$ и полуокружность радиуса 1 с
центром в точке $O$, расположенную в первом и втором квадрантах — назовём её
единичной полуокружностью. Из точки $O$ проведём луч
$h$, пересекающий полуокружность в точке $M(x;y)$. Углом $α$
назовём угол между лучом $h$ и положительной полуосью $Ox$ (если $h$ совпадает с полуосью, считаем $α=0°$).
Тогда для любого $α$ из промежутка $0°\le α\le180°$:
$$\sin α = y, \qquad \cos α = x$$
— синус угла $α$ равен ординате точки $M$, а косинус — её абсциссе.
Если угол $α$ острый, то из прямоугольного треугольника $OMD$ (где $D$ — проекция $M$ на ось $Ox$) видно,
что $\sinα=\dfrac{MD}{OM}$, $\cosα=\dfrac{OD}{OM}$; а так как $OM=1$, $MD=y$, $OD=x$ — это в точности
совпадает с прежним, «прямоугольным» определением. Для прямого, тупого и развёрнутого угла синус и
косинус определяются теми же формулами, только напрямую через координаты точки $M$, без всякого
треугольника.
Так как координаты $(x;y)$ точек полуокружности лежат в промежутках $0\le y\le1$, $-1\le x\le1$, то для
любого $α$ от 0° до 180° верны неравенства
$$0\le\sinα\le1, \qquad -1\le\cosα\le1.$$
Для точек $A(1;0)$, $C(0;1)$, $B(-1;0)$ (см. вкладку справа) получаем значения на границах промежутка:
$$\sin0°=0,\ \sin90°=1,\ \sin180°=0, \qquad \cos0°=1,\ \cos90°=0,\ \cos180°=-1.$$
Тангенс и котангенс. Тангенсом угла $α$ ($α\ne90°$) называется отношение
$$\operatorname{tg}α=\frac{\sinα}{\cosα},$$
а котангенсом угла $α$ ($0°<α<180°$) — отношение
$$\operatorname{ctg}α=\frac{\cosα}{\sinα}.$$
При $α=90°$ тангенс не определён, поскольку $\cos90°=0$; при $α=0°$ и $α=180°$ не определён котангенс,
поскольку $\sinα=0$. Отсюда: $\operatorname{tg}0°=0$, $\operatorname{tg}180°=0$, $\operatorname{ctg}90°=0$.
101. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
Единичная полуокружность — это часть окружности с уравнением $x^2+y^2=1$. Так как $x=\cosα$, $y=\sinα$,
подстановка даёт одно из главных равенств геометрии:
Основное тригонометрическое тождество.
$$\sin^2α+\cos^2α=1$$
верно для любого угла $α$ из промежутка $0°\le α\le180°$ (в 8 классе оно было доказано
только для острых углов).
1
Точка $M(x;y)$ лежит на единичной полуокружности —
дуге окружности радиуса 1 с центром $O$. Значит, её координаты удовлетворяют уравнению этой
окружности: $x^2+y^2=1$.
2
По определению $\sinα=y$, $\cosα=x$ — это ордината и абсцисса той же точки $M$, никакого
дополнительного построения не нужно.
3
Подставив $x=\cosα$, $y=\sinα$ в равенство $x^2+y^2=1$, получаем
$\sin^2α+\cos^2α=1$ — для любого угла $α$ от 0° до 180°, а не только острого.
Тождество доказано.
Пример. Пусть $\cosα=-\dfrac23$. Найдите $\sinα$.
1
По тождеству $\sin^2α=1-\cos^2α=1-\dfrac49=\dfrac59$.
2
Так как $0°\leα\le180°$, ордината точки $M$ неотрицательна, поэтому $\sinα\ge0$ всегда (это не
прямоугольный треугольник, где надо было бы выбирать знак) — значит
$\sinα=\sqrt{\dfrac59}=\dfrac{\sqrt5}{3}$.
Формулы приведения
Кроме тождества, для единичной полуокружности справедливы формулы приведения (доказываются в курсе
алгебры):
$$\sin(90°-α)=\cosα, \quad \cos(90°-α)=\sinα \quad (0°\leα\le90°),$$
$$\sin(180°-α)=\sinα, \quad \cos(180°-α)=-\cosα \quad (0°\leα\le180°).$$
🧠 Вторую пару формул легко увидеть геометрически: точка полуокружности с углом $180°-α$ — это отражение
точки $M$ относительно оси $Oy$. У отражённой точки та же
ордината $y$ (тот же $\sinα$), но противоположная абсцисса $-x$ (значит, $\cos(180°-α)=-\cosα$).
Таблица значений для «удобных» углов
Значения для 30°, 45°, 60° уже известны из прямоугольных треугольников
(§4 главы VII). Значения для 120°,
135°, 150° получаются из них по формулам приведения $\sin(180°-α)=\sinα$, $\cos(180°-α)=-\cosα$ — смотри
вкладку «Табличные углы» справа.
$α$
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
$\sinα$
0
$\frac12$
$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{\sqrt3}{2}$
1
$\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac12$
0
$\cosα$
1
$\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac12$
0
$-\frac12$
$-\frac{\sqrt2}{2}$
$-\frac{\sqrt3}{2}$
-1
$\operatorname{tg}α$
0
$\frac{\sqrt3}{3}$
1
$\sqrt3$
—
$-\sqrt3$
-1
$-\frac{\sqrt3}{3}$
0
102. Формулы для вычисления координат точки
Пусть луч $OA$ образует угол $α$ с положительной полуосью $Ox$, а точка $A(x;y)$ лежит на этом луче на
расстоянии $OA$ от начала координат (необязательно равном 1). Выразим координаты $A$ через $OA$ и $α$.
Обозначим $M$ — точку пересечения луча $OA$ с единичной полуокружностью; по формулам (1) её
координаты $M(\cosα;\sinα)$, значит вектор $\overrightarrow{OM}$ имеет те же координаты:
$\overrightarrow{OM}\{\cosα;\sinα\}$.
2
Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OM}$ лежат на одном луче — они сонаправлены.
Значит, $\overrightarrow{OA}=OA\cdot\overrightarrow{OM}$, где $OA$ — длина отрезка $OA$
(положительное число, растягивающее $\overrightarrow{OM}$ до нужного размера).
3
Координаты вектора $\overrightarrow{OA}$ равны координатам $\overrightarrow{OM}$, умноженным на
число $OA$: $x=OA\cdot\cosα$, $y=OA\cdot\sinα$. Формулы получены.
Пример. Луч $OA$ пересекает единичную полуокружность под углом $α=45°$, а $OA=3$. Найдите
координаты точки $A$.
1
$\cos45°=\sin45°=\dfrac{\sqrt2}{2}$ (см. таблицу выше).
⚠️ Частая ошибка: считать, что косинус угла всегда положителен — так было только для
острого угла прямоугольного треугольника. Но для тупых углов косинус отрицателен:
$\cos90°=0$, $\cos180°=-1$. Знак $\cosα$ определяется тем, справа или слева от оси $Oy$ находится точка
$M$ — если угол тупой, $M$ уходит на левую половину полуокружности, и абсцисса становится отрицательной.
Синус же остаётся неотрицательным при любом $α$ от 0° до 180°, потому что вся полуокружность лежит в
верхней полуплоскости ($y\ge0$).
🧠 Запомни:
$\sinα=y$, $\cosα=x$ — координаты точки $M$ единичной полуокружности, $0°\leα\le180°$.
$\operatorname{tg}α=\dfrac{\sinα}{\cosα}$ (не опр. при $α=90°$), $\operatorname{ctg}α=\dfrac{\cosα}{\sinα}$ (не опр. при $α=0°,180°$).
$\sin^2α+\cos^2α=1$ — основное тождество, верно для любого угла из промежутка.