9 класс · Метод координат
Простейшие задачи в координатах
Связь координат вектора с координатами его начала и конца
💡 Из жизни: курьерское приложение знает координаты точки, откуда забрали посылку,
и координаты точки доставки. Чтобы понять, «куда и на сколько сдвинуться», приложение просто вычитает
координаты старта из координат финиша — по осям отдельно: сколько кварталов на восток, сколько на
север. Это и есть координаты вектора перемещения.
Пусть точка $M$ имеет координаты $(x;y)$. Вектор $\overrightarrow{OM}$ (от начала координат до точки $M$) называют радиус-вектором точки $M$.
Утверждение. Координаты точки $M$ равны соответствующим координатам её
радиус-вектора $\overrightarrow{OM}$, то есть
$\overrightarrow{OM}\{x;\,y\}$.
1
Проведём через точку $M$ прямые, перпендикулярные к осям, и обозначим $M_1$, $M_2$ — точки
пересечения этих прямых с осями $Ox$ и $Oy$. Тогда по правилу треугольника
$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM_1} + \overrightarrow{OM_2}$.
2
Если $x>0$, то $OM_1=x$ и векторы $\overrightarrow{OM_1}$, $\vec{i}$ сонаправлены, поэтому
$\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$. Если $x<0$ — векторы противоположно направлены, и снова
$\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$ (с отрицательным $x$). При $x=0$ вектор нулевой — формула тоже
верна. Аналогично $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$.
3
Значит $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$, то есть координаты радиус-вектора
$\overrightarrow{OM}$ равны $\{x;\,y\}$ — тем же числам, что и координаты самой точки $M$.
Утверждение доказано.
Пользуясь этим, выразим координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ через координаты его начала $A(x_1;y_1)$ и конца $B(x_2;y_2)$. Так как $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, а координаты $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OA}$ равны координатам точек $B$ и $A$ (по доказанному выше), то координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны разности соответствующих координат:
$$\overrightarrow{AB}\ \{x_2-x_1;\ y_2-y_1\}$$
🧠 Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и
начала. Потяни точки $A$ и $B$ на вкладке
«Вектор по точкам» — координаты $\overrightarrow{AB}$
пересчитываются сами.
92а. Координаты середины отрезка
💡 Из жизни: если два человека стоят на прямой улице на числах 2 и 8 (в метрах от
начала), встретятся они точно посередине — на числе 5, то есть на полусумме $(2+8)/2$. С координатами
на плоскости работает то же самое правило — отдельно по $x$ и отдельно по $y$.
Утверждение. Пусть точка $A(x_1;y_1)$, точка $B(x_2;y_2)$, а точка $C$ — середина
отрезка $AB$. Тогда
$$x = \dfrac{x_1+x_2}{2}, \qquad y = \dfrac{y_1+y_2}{2}.$$
1
Так как $C$ — середина отрезка $AB$, то
$\overrightarrow{OC} = \dfrac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$ (доказано
ранее для середины отрезка).
2
Координаты $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ равны
координатам точек $C$, $A$, $B$. Записывая равенство в координатах и применяя правила сложения
векторов и умножения на число $\tfrac12$, получаем
$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$, $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}$. Утверждение доказано.
🧠 Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Потяни
точки $A$, $B$ на вкладке
«Середина отрезка».
92б. Вычисление длины вектора по его координатам
Утверждение. Длина вектора $\vec{a}\{x;\,y\}$ вычисляется по формуле
$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}.$$
1
Отложим от начала координат вектор $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и проведём через точку $A$
перпендикуляры $AA_1$, $AA_2$ к осям $Ox$ и $Oy$. Координаты точки $A$ равны координатам вектора
$\overrightarrow{OA}$, то есть $(x;y)$.
2
Тогда $OA_1=|x|$ и $AA_1=OA_2=|y|$ — стороны прямоугольного треугольника $OA_1A$ с прямым
углом при $A_1$.
3
По теореме Пифагора $OA = \sqrt{OA_1^2+AA_1^2} = \sqrt{x^2+y^2}$. Но
$|\vec{a}|=|\overrightarrow{OA}|=OA$, значит $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.
Утверждение доказано.
🧠 Длина вектора — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны координатам
вектора по модулю. Смотри вкладку
«Длина и расстояние».
92в. Расстояние между двумя точками
Утверждение. Расстояние $d$ между точками $M_1(x_1;y_1)$ и $M_2(x_2;y_2)$ выражается
формулой
$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$
1
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{M_1M_2}$. По формуле координат вектора через начало и конец
его координаты равны $\{x_2-x_1;\ y_2-y_1\}$.
2
По формуле длины вектора
$|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Но
$|\overrightarrow{M_1M_2}| = d$ — это и есть искомое расстояние.
Утверждение доказано.
🧠 Формула расстояния — это формула длины вектора $\overrightarrow{M_1M_2}$, применённая к разности
координат двух точек. Потяни точки на вкладке
«Длина и расстояние».
Пример: середина гипотенузы равноудалена от вершин
Задача. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$; пусть $BC=a$, $AC=b$. Введём
систему координат так, чтобы $C(0;0)$, $B(a;0)$, $A(0;b)$ — удобно, потому что катеты лежат на
осях.
2
Обозначим $M$ — середину гипотенузы $AB$. По формуле координат середины отрезка:
$M\left(\dfrac{a}{2};\ \dfrac{b}{2}\right)$.
3
По формуле расстояния между двумя точками:
$$MC=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2}=\dfrac12\sqrt{a^2+b^2},$$
$$MA=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b}{2}-b\right)^2}=\dfrac12\sqrt{a^2+b^2}.$$
4
Аналогично $MB=\dfrac12\sqrt{a^2+b^2}$. Значит $MA=MB=MC$, что и требовалось доказать. Это и
есть суть метода координат: вместо построений — алгебраические вычисления по
готовым формулам.
⚠️ Частая ошибка: при вычислении координат вектора $\overrightarrow{AB}$ путают
порядок и считают «начало минус конец» ($x_1-x_2$) вместо «конец минус начало» ($x_2-x_1$). Знак
важен: $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — противоположные векторы. В формулах длины
вектора и расстояния между точками порядок вычитания на результат не влияет (разность возводится в
квадрат), а вот в формуле координат вектора — влияет всегда.
🧠 Запомни:
- Координаты вектора: $\overrightarrow{AB}\ \{x_2-x_1;\ y_2-y_1\}$ — конец минус начало.
- Середина отрезка: $C\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ — полусумма координат концов.
- Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$.
- Расстояние между точками: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.