💡 Из жизни: представь, что нужно найти площадь треугольного участка земли, но
измерить высоту (перпендикуляр от одной вершины до противоположной стороны) неудобно — например, там
забор или яма. Зато легко измерить рулеткой две стороны участка и транспортиром — угол между ними.
Формула ниже позволяет найти площадь именно так, без всякой высоты.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус
угла между ними. Если в треугольнике $ABC$
$BC=a$, $CA=b$, то
$$S=\frac12\,ab\sin C.$$
1
Введём систему координат с началом в точке $C$ так, чтобы
точка $B$ лежала на положительной полуоси $Cx$, а точка
$A$ имела положительную ординату.
2
Площадь треугольника можно вычислить по известной формуле $S=\dfrac12\,a h$, где $h$ — высота,
опущенная из вершины $A$ на сторону $a$.
3
Но $h$ равна ординате точки $A$, то есть $h=b\sin C$ — это следует прямо из определения
синуса угла (§1): $A$ лежит на луче $CA$ длиной $b$ под углом $C$ к оси $Cx$.
4
Подставляя, получаем $S=\dfrac12\,a\cdot b\sin C = \dfrac12\,ab\sin C$.
Теорема доказана.
Пример. $AB=6\sqrt8$ см, $AC=4$ см, $\angle A=60°$. Найдите
площадь $\triangle ABC$.
1
Стороны $AB$ и $AC$ прилежат к углу $A$, поэтому $S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$.
💡 Из жизни: теорема синусов — «диспетчер» треугольника: она связывает каждую сторону
с синусом угла напротив неё, и это отношение одно и то же для всех трёх пар. Зная всего одну сторону и
два угла (например, при измерениях на местности, где углы измерить легче, чем расстояния), можно
восстановить остальные стороны.
По теореме о площади треугольника, применённой к трём разным парам сторон:
$S=\dfrac12ab\sin C$, $S=\dfrac12bc\sin A$, $S=\dfrac12ca\sin B$.
2
Приравняв первое и второе выражения: $\dfrac12ab\sin C=\dfrac12bc\sin A$. Сократив на
$\dfrac12 b$, получаем $a\sin C=c\sin A$, откуда $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$.
3
Точно так же из второго и третьего выражений следует $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.
Итого $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$. Теорема доказана.
🧠 Замечание. Можно доказать (задача 1033), что каждое из этих отношений равно
диаметру описанной окружности:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$
где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника (см. вкладку
«Синусы» справа — там же нарисована эта окружность).
102. Теорема косинусов
💡 Из жизни: теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на треугольники без
прямого угла: если знаешь две стороны и угол между ними, всегда можно найти третью сторону — как
механик, который по двум известным рычагам и углу между ними находит расстояние между их концами.
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, для угла
$A$:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.\qquad(1)$$
1
Введём систему координат с началом в точке $A$: тогда
точка $B$ получит координаты $(c;0)$, а точка $C$ — координаты $(b\cos A;\,b\sin A)$ (по формулам
координат точки на луче из §1).
2
По формуле расстояния между двумя точками:
$BC^2=a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2$.
🧠 Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора: если угол $A$
прямой, то $\cos A=\cos90°=0$, и формула (1) даёт $a^2=b^2+c^2$ — квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов. Попробуй перетащить вершины во вкладке
«Косинусы» справа так, чтобы угол $A$ стал прямым.
103. Решение треугольников
Определение. Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов
(трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три типовые задачи (обозначения как обычно: $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$) — попробуй их
во вкладке «Решение треугольников» справа, двигая
ползунки данных величин.
1
По двум сторонам и углу между ними. Дано: $a$, $b$, $\angle C$. Сначала находим
$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$ (теорема косинусов), затем
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ и $\angle B=180°-\angle A-\angle C$.
2
По стороне и двум прилежащим углам. Дано: $a$, $\angle B$, $\angle C$. Сначала
$\angle A=180°-\angle B-\angle C$, затем по теореме синусов
$b=a\dfrac{\sin B}{\sin A}$, $c=a\dfrac{\sin C}{\sin A}$.
3
По трём сторонам. Дано: $a$, $b$, $c$. По теореме косинусов
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, аналогично находим $\angle B$, затем
$\angle C=180°-\angle A-\angle B$.
Пример (задача о воротах). Мяч в точке $A$ на расстояниях
$AB=23$ м и $AC=24$ м от стоек ворот, ширина ворот $BC=7$ м. Найдите угол попадания $\alpha=\angle A$.
1
Здесь известны все три стороны треугольника $ABC$ ($a=7$, $b=24$, $c=23$) — это задача 3.
По таблице (или калькулятору) $\alpha\approx16°57'$.
104. Измерительные работы на местности
Тригонометрические формулы применяются, чтобы измерять недоступные расстояния и высоты.
1
Высота предмета. Если основание $H$ доступно: отмечаем точку $B$ на расстоянии
$a$ от $H$, измеряем угол $\angle ABH=\alpha$. Тогда $AH=a\operatorname{tg}\alpha$.
2
Если основание недоступно: берём точки $B$, $C$ на расстоянии $a$ друг от друга, измеряем
$\angle ABH=\alpha$ и $\angle ACB=\beta$. Тогда
$AH=\dfrac{a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}$.
3
Расстояние до недоступной точки $C$. Измеряем $AB=c$ и углы
$\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$. Тогда $\angle C=180°-\alpha-\beta$ и
$d=AC=\dfrac{c\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$ (по теореме синусов).
⚠️ Частая ошибка: путать, какой угол стоит между сторонами в формулах площади и
косинуса. В $S=\dfrac12ab\sin C$ угол $C$ обязан быть между сторонами $a$ и $b$ —
если взять любой другой угол треугольника, формула даст неверный результат. Так же и в теореме
косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ — вычитаемый косинус берётся от угла, который лежит
напротив искомой стороны $a$ (то есть между $b$ и $c$), а не от произвольного угла.
🧠 Запомни:
$S=\dfrac12ab\sin C$ — площадь через две стороны и угол между ними.