§3. Скалярное произведение векторов

105. Угол между векторами

      💡 Из жизни: представь двух людей, которые вышли из одной точки в разных направлениях —
      угол между их путями и есть угол между векторами их перемещения. Если оба идут в одну сторону — угол
      считается равным 0°, даже если один прошёл дальше другого.
    

Определение. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\vec{OA}=\vec a$ и $\vec{OB}=\vec b$. Если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не сонаправлены, углом между ними называется градусная мера угла $AOB$. Если векторы сонаправлены (в частности, один из них или оба нулевые), угол между ними считается равным $0°$. Угол между $\vec a$ и $\vec b$ обозначается $\widehat{\vec a\vec b}$.

Угол между векторами не зависит от того, от какой точки $O$ их откладывать — картинка просто сдвигается параллельно самой себе, а величина угла не меняется.

Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90°$.

106. Скалярное произведение векторов

      💡 Из жизни: тащишь санки за верёвку под углом к направлению движения — реально
      «работает» только та часть силы, что направлена вдоль движения. Скалярное произведение как раз и
      измеряет, «сколько одного вектора смотрит в сторону другого», умноженное на его длину.
    

Определение. Скалярным произведением двух векторов $\vec a$ и $\vec b$ называется произведение их длин на косинус угла между ними: $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos(\widehat{\vec a\vec b}).\qquad(1)$$

1

Если $\vec a\perp\vec b$, то $\cos(\widehat{\vec a\vec b})=\cos90°=0$, и поэтому $\vec a\cdot\vec b=0$.

2

Обратно: если $\vec a\cdot\vec b=0$ и оба вектора ненулевые, то из формулы (1) $\cos(\widehat{\vec a\vec b})=0$, значит $\widehat{\vec a\vec b}=90°$ — векторы перпендикулярны.

🧠 Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. А ещё оно положительно, когда угол между векторами острый ($\widehat{\vec a\vec b}<90°$), и отрицательно, когда угол тупой ($\widehat{\vec a\vec b}>90°$) — попробуй покрутить векторы во вкладке «Угол между векторами» справа.

Если $\vec a\uparrow\uparrow\vec b$ (сонаправлены), то $\cos0°=1$ и $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$. В частности, при $\vec b=\vec a$ получаем $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ — это называется скалярным квадратом вектора $\vec a$ и обозначается $\vec a^{\,2}$. Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

      💡 Применение в физике. Работа $A$ постоянной силы $\vec F$ при перемещении тела из точки
      $M$ в точку $N$ равна $A=|\vec F|\cdot|\vec{MN}|\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между силой и
      перемещением. Правая часть — это в точности скалярное произведение векторов, поэтому
      $$A=\vec F\cdot\vec{MN}.$$
    

107. Скалярное произведение в координатах

Теорема. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов $\vec a\{x_1;y_1\}$ и $\vec b\{x_2;y_2\}$ выражается формулой $$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2.\qquad(2)$$

🧠 Следствие 1. Ненулевые векторы $\vec a\{x_1;y_1\}$ и $\vec b\{x_2;y_2\}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $x_1x_2+y_1y_2=0$.

🧠 Следствие 2. Косинус угла $\alpha$ между ненулевыми векторами $\vec a\{x_1;y_1\}$ и $\vec b\{x_2;y_2\}$ выражается формулой $$\cos\alpha=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}.\qquad(4)$$ Действительно, из $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$ следует $\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$ — осталось подставить формулу (2) и длины векторов через координаты. Проверь оба следствия во вкладке «В координатах» справа.

108. Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ и любого числа $k$ справедливы соотношения:

1°

$\vec a^{\,2}\ge0$, причём $\vec a^{\,2}>0$ при $\vec a\ne\vec 0$ — следует прямо из $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$.

2°

$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$ (переместительный закон) — следует из определения: косинус угла между $\vec a$ и $\vec b$ такой же, как между $\vec b$ и $\vec a$.

3°

$(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$ (распределительный закон). Введём координаты $\vec a\{x_1;y_1\}$, $\vec b\{x_2;y_2\}$, $\vec c\{x_3;y_3\}$. Тогда по формуле (2): $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=(x_1+x_2)x_3+(y_1+y_2)y_3=(x_1x_3+y_1y_3)+(x_2x_3+y_2y_3)=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$.

4°

$(k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)$ (сочетательный закон). Вектор $k\vec a$ имеет координаты $\{kx_1;ky_1\}$, поэтому $(k\vec a)\cdot\vec b=(kx_1)x_2+(ky_1)y_2=k(x_1x_2+y_1y_2)=k(\vec a\cdot\vec b)$.

🧠 Распределительный закон верен для любого числа слагаемых, например $(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec d=\vec a\cdot\vec d+\vec b\cdot\vec d+\vec c\cdot\vec d$.

Применение к решению задач

Задача. Если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $$4AM^2=AB^2+AC^2+2\,AB\cdot AC\cdot\cos A.$$

1

Точка $M$ — середина $BC$, значит $2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}$ (правило параллелограмма).

2

Возведём в скалярный квадрат обе части: $(2\vec{AM})\cdot(2\vec{AM})=(\vec{AB}+\vec{AC})\cdot(\vec{AB}+\vec{AC})$.

3

Раскрываем правую часть по свойствам 3° и 2°: $\vec{AB}\cdot\vec{AB}+2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{AC}\cdot\vec{AC}=AB^2+2\,AB\cdot AC\cdot\cos A+AC^2$.

4

Итого $4AM^2=AB^2+AC^2+2\,AB\cdot AC\cdot\cos A$. Попробуй проверить формулу во вкладке «Применение» справа, двигая вершины треугольника.

Отсюда легко следует, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны: в равнобедренном треугольнике $AB=AC$ и общий угол при основании при вершинах $B$ и $C$ равен, поэтому формулы для обеих медиан дают одинаковый результат (проведи это рассуждение самостоятельно, по аналогии с задачей 1054 учебника).

⚠️ Частая ошибка: путать скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$ (число!) с «умножением векторов», как будто результат снова вектор. Скалярное произведение — это всегда число (может быть положительным, отрицательным или нулём), а не вектор. Также часто забывают, что $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ — это скалярный квадрат, а не «вектор в квадрате».

🧠 Запомни:

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos(\widehat{\vec a\vec b})$ — определение скалярного произведения.
$\vec a\cdot\vec b=0 \iff \vec a\perp\vec b$ (для ненулевых векторов).
Знак $\vec a\cdot\vec b$ совпадает со знаком $\cos(\widehat{\vec a\vec b})$: острый угол — плюс, тупой — минус.
$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ — скалярный квадрат равен квадрату длины.
В координатах: $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2$.
Свойства: $\vec a^{\,2}\ge0$, $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$, $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$, $(k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)$.