Сравнение отрезков и углов — Геометрия 7-9 класс

5. Равенство геометрических фигур

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры: два одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два одинаковых автомобиля. В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Чтобы установить, равны ли две фигуры $Ф_1$ и $Ф_2$, поступают так: копируют фигуру $Ф_1$ на кальку и, передвигая кальку, пытаются наложить копию на фигуру $Ф_2$. Если фигуры совмещаются полностью — они равны. Договариваются говорить о наложении самой фигуры (а не копии) на другую.

📐 ОпределениеДве геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

      💡
      Из жизниПредставь, что вырезал из бумаги две снежинки по одному шаблону. Если приложить одну снежинку поверх другой, все лучи совпадут точь-в-точь — вот это и есть наложение. Если хотя бы один луч окажется длиннее или короче — снежинки уже не равны.
    

6. Сравнение отрезков и углов

Сравнение отрезков

Чтобы установить, равны ли два отрезка, накладывают один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого. Если при этом совместятся и два других конца — отрезки равны. Если не совместятся — меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого.

В интерактиве справа перетащи правый конец отрезка $A_1B_1$синий отрезок на чертеже или отрезка $A_2B_2$зелёный отрезок на чертеже — понаблюдай, как совмещаются левые концы и когда индикатор показывает равенство отрезков или неравенство ($A_1B_1 < A_2B_2$ или наоборот).

📏 ОпределениеТочка отрезка, делящая его пополам, то есть на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Например, если точка $C$включи «Показать середину C» — середина отрезка $AB$, то $AC = CB$, и вместе они составляют весь отрезок $AB$.

⚠️ Частая ошибкаСередину отрезка путают с точкой «примерно посередине на глаз». Середина отрезка — это точная точка, для которой оба получившихся отрезка равны по длине, а не просто «где-то в центре».

Сравнение углов

Чтобы установить, равны ли два угла, накладывают один угол на другой так, чтобы совместились их вершины и по одной стороне каждого угла, а две оставшиеся стороны оказались по одну сторону от совместившихся. Если эти оставшиеся стороны также совместятся — углы равны. Если нет — меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.

Во второй вкладке интерактива справа перетащи сторону угла 1потяни синюю сторону или угла 2потяни зелёную сторону вокруг общей вершины — понаблюдай, когда один угол укладывается внутри другого.

      💡
      Развёрнутый уголНеразвёрнутый угол всегда составляет лишь часть развёрнутого угла (рис. 23 учебника), поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого. А вот любые два развёрнутых угла между собой всегда равны — ведь оба они выглядят как прямая линия, разделённая точкой на два луча.
    

📐 ОпределениеЛуч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Переключи третью вкладку интерактива, чтобы увидеть биссектрису $l$пунктирный луч на чертеже угла $hk$закрашенная область угла: она делит угол пополам, поэтому дуги по обе стороны от неё отмечены одинаковым числом чёрточек — знак того, что углы $hl$дуга слева от l и $lk$дуга справа от l равны.

⚠️ Частая ошибкаБиссектрису угла путают с медианой или высотой треугольника (эти понятия появятся позже) — биссектриса относится именно к углу, а не к стороне треугольника напротив вершины.

Пример

Задача. Точка $O$ — середина отрезка $AB$. Можно ли совместить наложением отрезки: а) $OA$ и $OB$; б) $OA$ и $AB$?

Шаг 0 из 4

🧠 Запомни

Фигуры равны, если их можно совместить наложением
Меньший отрезок (угол) — тот, который составляет часть другого
Середина отрезка делит его на два равных отрезка
Биссектриса угла делит его на два равных угла
Все развёрнутые углы равны между собой

← Глава I · §2 Луч и угол Все темы Глава I · §4 → Измерение отрезков

Перетащи точку $B_1$ или $B_2$ — сравни отрезки наложением

$A_1B_1 = A_2B_2$