💡 Из жизни: представь, что вся плоскость — это прозрачная плёнка, и ты сдвигаешь её
целиком в одном направлении на одно и то же расстояние, не поворачивая и не переворачивая. Каждая точка
плёнки съезжает по одному и тому же вектору — вот это и есть параллельный перенос. Попробуй на вкладке
«Параллельный перенос» справа: тяни концы вектора
$a$ — вся фигура $MN$ сдвигается вслед за ним.
Определение. Пусть $a$ — данный вектор. Параллельным переносом на вектор $a$
называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M_1$,
что вектор $\overrightarrow{MM_1}$ равен вектору $a$.
Наглядно параллельный перенос можно представить как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора
$a$ на его длину.
Докажем, что параллельный перенос — движение.
Теорема. Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя,
сохраняющим расстояния.
1
Пусть при параллельном переносе на вектор $a$ точки $M$ и $N$ отображаются в точки $M_1$ и $N_1$
(см. рисунок справа).
2
Так как $\overrightarrow{MM_1}=a$ и $\overrightarrow{NN_1}=a$, то
$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{NN_1}$. Отсюда следует, что $MM_1\parallel NN_1$ и $MM_1=NN_1$.
3
Так как $MM_1\parallel NN_1$ и $MM_1=NN_1$, четырёхугольник $MM_1N_1N$ — параллелограмм
(по признаку: пара противоположных сторон равна и параллельна).
4
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $MN=M_1N_1$, т. е. расстояние между точками
$M$ и $N$ равно расстоянию между точками $M_1$ и $N_1$ (случай, когда точки $M$ и $N$ расположены на
прямой, параллельной вектору $a$, рассматривается отдельно — тогда $MM_1N_1N$ вырождается, но равенство
$MN=M_1N_1$ всё равно верно).
5
Итак, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, а значит представляет собой движение.
Теорема доказана.
121. Поворот
💡 Из жизни: представь стрелку часов, закреплённую в центре $O$ циферблата: она вращается
вокруг этой неподвижной точки на некоторый угол, но расстояние от центра до кончика стрелки не меняется.
Именно так устроен поворот плоскости. Попробуй на вкладке
«Поворот» справа: тяни центр $O$, точки $M,N$ и меняй угол
$\alpha$ ползунком.
Определение. Отметим на плоскости точку $O$ (центр поворота) и зададим угол
$\alpha$ (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол
$\alpha$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку
$M_1$, что $OM=OM_1$ и угол $MOM_1$ равен $\alpha$. При этом точка $O$ остаётся на месте (отображается сама
в себя), а все остальные точки поворачиваются вокруг $O$ в одном и том же направлении — по часовой стрелке
или против часовой стрелки.
Докажем, что поворот — движение.
Теорема. Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим
расстояния.
1
Пусть $O$ — центр поворота, $\alpha$ — угол поворота. Допустим, что при этом повороте точки $M$ и
$N$ отображаются в точки $M_1$ и $N_1$. По определению поворота $OM=OM_1$ и $ON=ON_1$.
2
Оба луча $OM$ и $ON$ повёрнуты вокруг $O$ на один и тот же угол $\alpha$ в одном направлении, поэтому
угол между их образами равен углу между исходными лучами: $\angle MON=\angle M_1ON_1$.
3
Треугольники $OMN$ и $OM_1N_1$ равны по двум сторонам и углу между ними: $OM=OM_1$, $ON=ON_1$,
$\angle MON=\angle M_1ON_1$.
4
Из равенства этих треугольников следует, что $MN=M_1N_1$, т. е. расстояние между точками $M$ и $N$
равно расстоянию между точками $M_1$ и $N_1$ (случай, когда точки $O,M,N$ расположены на одной прямой,
рассматривается отдельно).
5
Итак, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение.
Теорема доказана. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг
точки $O$ на угол $\alpha$.
⚠️ Частая ошибка: считать, что центр поворота $O$ обязательно должен лежать внутри
поворачиваемой фигуры. На самом деле центр поворота — это любая фиксированная точка плоскости: она может
быть внутри фигуры, снаружи неё или даже совпадать с одной из её вершин. Единственное особое свойство точки
$O$ — она сама при повороте остаётся на месте (это единственная неподвижная точка поворота, если угол не
кратен $360°$).
🧠 Запомни:
Параллельный перенос на вектор $a$: каждая точка $M$ переходит в точку $M_1$ такую,
что $\overrightarrow{MM_1}=a$ — все точки плоскости сдвигаются на один и тот же вектор.
Перенос — движение: доказывается через параллелограмм $MM_1N_1N$, откуда $MN=M_1N_1$.
Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$: каждая точка $M$ переходит в точку $M_1$
такую, что $OM=OM_1$ и $\angle MOM_1=\alpha$; центр $O$ остаётся на месте.
Поворот — движение: доказывается через равенство треугольников $OMN$ и $OM_1N_1$ по двум сторонам и
углу между ними (SAS), откуда $MN=M_1N_1$.
И перенос, и поворот, как и осевая/центральная симметрии из §1, — частные виды движений: все они
сохраняют расстояния между точками.