💡 Из жизни: до сих пор все фигуры (треугольники, окружности) жили внутри одной плоскости —
это планиметрия. Но кристалл, коробка, комната, футбольный мяч, консервная банка — это уже не плоские фигуры,
они занимают часть пространства. Раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве, называется
стереометрией («стерео» — пространственный, «метрео» — измерять).
Простейший многогранник — куб, составленный из шести равных квадратов. Поверхности,
составленные из многоугольников, называются многогранниками. Справа на вкладке
«Призма» — пример многогранника: потрогай его мышкой, чтобы
покрутить.
Определение. Многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело (тело тоже называют многогранником). Многоугольники, из
которых он составлен, называются его гранями;
стороны граней — рёбрами; концы рёбер —
вершинами. Отрезок, соединяющий две вершины,
не принадлежащие одной грани, называется
диагональю многогранника.
Выпуклый многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани (все
многогранники на этой странице — выпуклые); иначе многогранник — невыпуклый.
124. Призма
Определение.n-угольной призмой
называется многогранник, составленный из двух равных n-угольников —
оснований призмы, лежащих в параллельных плоскостях, и
n параллелограммов — боковых граней. Стороны боковых
граней, соединяющие соответственные вершины оснований, называются
боковыми рёбрами призмы — все они равны и параллельны
друг другу.
Если боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований — призма прямая, иначе —
наклонная. Прямая призма, основаниями которой служат правильные многоугольники, называется
правильной. Отрезок, соединяющий плоскости оснований перпендикулярно одной из них, называется
высотой призмы (у прямой призмы высота равна боковому ребру).
💡 Попробуй на вкладке «Призма»: переключай число сторон основания (3/4/6), жми «прямая ⇄ наклонная» — и
следи, как меняется картинка, а счётчик Г/Р/В (граней, рёбер, вершин) обновляется автоматически.
125. Параллелепипед
Определение. Четырёхугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется
параллелепипедом. Все шесть его граней — параллелограммы. Если параллелепипед прямой и
основаниями служат прямоугольники, он называется прямоугольным.
Важное свойство: четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам
(доказывается через то, что противоположные грани — параллелограммы; строгое доказательство — в курсе
10–11 класса).
126. Объём тела
Понятие объёма вводится по аналогии с площадью: за единицу измерения объёма берут куб, ребро которого равно
единице длины (1 см³, 1 м³ и т. д.).
1°
Равные тела имеют равные объёмы.
2°
Если тело составлено из нескольких тел без общих внутренних точек, его объём равен сумме их объёмов.
Для вычисления объёмов удобен принцип Кавальери: если любое сечение
двух тел плоскостью, параллельной некоторой фиксированной плоскости, всегда даёт сечения, площади которых
относятся как $k:1$, то и объёмы этих тел относятся как $k:1$. Строгое обоснование принципа — через
определённый интеграл (11 класс), здесь мы принимаем его без доказательства.
127. Свойства прямоугольного параллелепипеда
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют его
измерениями — по аналогии с длиной и шириной прямоугольника.
💡 Из жизни: у прямоугольника диагональ находится через теорему Пифагора по двум измерениям.
У прямоугольного параллелепипеда — точно так же, только измерений уже три: диагональ находится через
двукратное применение теоремы Пифагора. Подвигай ползунки $a,b,c$ на вкладке
«Параллелепипед» справа — диагональ $d$ пересчитывается на лету.
$$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Доказательство. Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед с измерениями
$AB=a$, $AD=b$, $AA_1=c$. Докажем, что $AC_1^2=AB^2+AD^2+AA_1^2$.
1
$ABCD$ — прямоугольник (грань-основание), поэтому по теореме Пифагора
$AC^2 = AB^2 + AD^2 = a^2+b^2$.
2
Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, значит оно перпендикулярно и прямой $AC$,
лежащей в этой плоскости, поэтому $\angle ACC_1 = 90°$.
3
Треугольник $ACC_1$ — прямоугольный с катетами $AC$ и $CC_1=AA_1=c$, гипотенуза — искомая диагональ
$AC_1$. По теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$.
4
Подставляя $AC^2=a^2+b^2$, получаем $AC_1^2 = a^2+b^2+c^2$, т. е.
$d^2=a^2+b^2+c^2$. Что и требовалось доказать.
Объём прямоугольного параллелепипеда (доказывается через принцип
Кавальери) равен произведению трёх его измерений:
$$V = abc$$
Поскольку $S=ab$ — площадь основания, а $h=c$ — высота, формулу можно записать как $V=Sh$. Оказывается,
ровно такая же формула верна для любой призмы:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: $$V = Sh$$
💡 Посмотри на вкладке «Объём» справа: раскрывай слои кубиков кнопкой — каждый слой имеет площадь
$S=a\cdot b$, а всего слоёв $c$ штук, поэтому в итоге $V=S\cdot c = abc$.
128. Пирамида
Определение. Пусть дан многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ и точка $P$ вне его плоскости.
Соединив $P$ отрезками со всеми вершинами, получим многогранник — пирамиду $PA_1A_2\ldots A_n$.
Многоугольник — основание пирамиды, треугольники — её
боковые грани, точка $P$ — вершина, отрезки $PA_i$ — боковые рёбра.
Отрезок из вершины пирамиды перпендикулярно плоскости основания — её
высота. Пирамида правильная,
если в основании правильный многоугольник, а высота попадает в его центр. Высота боковой грани правильной
пирамиды, проведённая из вершины, называется
апофемой — все апофемы правильной пирамиды
равны друг другу.
💡 Из жизни: если куб со стороной $a$ разрезать всеми его диагоналями, он распадётся на
6 равных правильных четырёхугольных пирамид с вершиной в центре куба. Отсюда несложно получить общую формулу:
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
$$V = \frac{1}{3}Sh$$