💡 Из жизни: представь функцию-«телепорт» — каждой точке плоскости она сопоставляет
какую-то (может быть, ту же самую) точку этой же плоскости, причём вообще у каждой точки плоскости есть
«прообраз» — точка, которая в неё переходит. Вот это правило-телепорт и называется отображением плоскости
на себя.
Определение. Если каждой точке плоскости сопоставлена некоторая точка этой же плоскости,
причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что задано
отображение плоскости на себя.
Мы уже встречались с такими отображениями. Осевая симметрия
— пример отображения плоскости на себя: возьмём произвольную точку $M$ и построим точку $M_1$,
симметричную ей относительно оси $a$ (для этого проводят перпендикуляр $MP$ к прямой $a$ и откладывают
$PM_1=MP$ по другую сторону от $a$). Если же точка лежит на самой оси, она отображается сама в себя.
Любой точке $M$ плоскости сопоставлена точка $M_1$, и любая точка $M_1$ оказывается сопоставленной
какой-то точке — значит, осевая симметрия действительно отображает плоскость на себя.
Точно так же центральная симметрия относительно точки $O$
сопоставляет каждой точке $M$ точку $M_1$, симметричную ей относительно $O$, — это тоже отображение
плоскости на себя.
118. Понятие движения
Осевая симметрия обладает важным свойством — она сохраняет расстояния между точками. Проверим это на
вкладке «Сохранение расстояний» справа: как бы ты ни двигал
точки $M$ и $N$, отрезок $MN$ и отрезок его образов
$M_1N_1$ всегда равны по длине.
Почему так происходит (случай, когда прямая $MN$ не перпендикулярна оси): проведём из $N$ и
$N_1$ перпендикуляры $NP$ и $N_1P_1$ к прямой $MM_1$. Прямоугольные треугольники $MNP$ и $M_1N_1P_1$ равны
по двум катетам ($MP=M_1P_1$ и $NP=N_1P_1$ — из построения симметрии), поэтому равны и их гипотенузы:
$MN=M_1N_1$.
Определение. Отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками,
называется движением (или перемещением). Итак, движение плоскости — это
отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.
Почему такое отображение называют «движением», понятно на примере осевой симметрии: её можно представить
как поворот плоскости в пространстве на $180°$ вокруг оси $a$, как будто страницу переворачивают через
ребро. Центральная симметрия (вкладка «Центральная симметрия»)
— тоже движение: расстояния $OM$ и $OM_1$ от центра до точки и её образа всегда равны.
Докажем ключевую теорему о движении.
Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.
1
Пусть при заданном движении концы $M$ и $N$ отрезка $MN$ отображаются в точки $M_1$ и $N_1$.
Докажем, что весь отрезок $MN$ отображается на отрезок $M_1N_1$. Возьмём произвольную точку $P$ на
отрезке $MN$ и обозначим через $P_1$ точку, в которую она отображается.
2
Так как $P$ лежит между $M$ и $N$: $MP+PN=MN$. Движение сохраняет расстояния, поэтому
$$M_1N_1=MN,\quad M_1P_1=MP,\quad N_1P_1=NP.$$
3
Подставляя эти равенства в $MP+PN=MN$, получаем $M_1P_1+P_1N_1=M_1N_1$. А это в точности означает,
что точка $P_1$ лежит на отрезке $M_1N_1$ (если бы это было не так, выполнялось бы
неравенство треугольника $M_1P_1+P_1N_1>M_1N_1$).
4
Осталось проверить обратное: в каждую ли точку $P_1$ отрезка $M_1N_1$ отображается какая-то точка
$P$ отрезка $MN$? Пусть $P_1$ — произвольная точка $M_1N_1$, а $P$ — точка, отображающаяся в неё.
Тогда из $M_1N_1=M_1P_1+P_1N_1$ и сохранения расстояний следует $MP+PN=MN$, то есть точка $P$ лежит
на отрезке $MN$.
5
Значит, точки отрезка $MN$ отображаются ровно на точки отрезка $M_1N_1$, и наоборот. Теорема
доказана.
💡 Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник — ведь по
теореме каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, значит и весь треугольник
отображается на треугольник с соответственно равными сторонами. Проверь на вкладке
«Треугольник → равный»: как ни тяни вершины
△ABC, его образ
△A₁B₁C₁ всегда остаётся равным ему треугольником.
Пользуясь этой теоремой, нетрудно доказать, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч,
а угол — на равный ему угол.
💡 Пример (задача 1150). Докажем, что при движении угол отображается на равный ему угол.
Пусть угол $AOB$ отображается на угол $A_1O_1B_1$ (точки $A,O,B$ — в точки $A_1,O_1,B_1$). Так как
движение сохраняет расстояния, $OA=O_1A_1$ и $OB=O_1B_1$. Если угол $AOB$ неразвёрнутый, треугольники
$AOB$ и $A_1O_1B_1$ равны по трём сторонам (по следствию выше), значит $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.
Если же угол $AOB$ развёрнутый, то и угол $A_1O_1B_1$ тоже развёрнутый, а развёрнутые углы всегда равны
по $180°$.
119*. Наложения и движения
В курсе геометрии равенство фигур определяется через наложения: фигура $\Phi$ равна фигуре $\Phi_1$, если
$\Phi$ можно совместить наложением с $\Phi_1$. Под наложением фигуры $\Phi$ на $\Phi_1$
понимают отображение всей плоскости на себя (не только точек фигуры $\Phi$), причём такое
отображение подчиняется набору аксиом наложений.
Отсюда несложно вывести: раз при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок, то наложение —
это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, а значит любое наложение — это
движение.
Теорема. Верно и обратное: любое движение является наложением.
1
Рассмотрим произвольное движение $g$. Возьмём какой-нибудь треугольник $ABC$. При движении $g$ он
отображается на равный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (следствие из §118).
2
По определению равных треугольников (через наложения) существует наложение $f$, при котором точки
$A,B,C$ отображаются соответственно в $A_1,B_1,C_1$ — то есть $f$ действует на вершинах треугольника
так же, как и $g$.
3
Докажем, что движение $g$ и наложение $f$ совпадают всюду, а не только на
вершинах $A,B,C$. Предположим противное: найдётся точка $M$, которая при $g$ отображается в $M_1$,
а при $f$ — в другую точку $M_2\ne M_1$.
4
Оба отображения сохраняют расстояния, поэтому $AM_1=AM=AM_2$, то есть точка $A$ равноудалена от
$M_1$ и $M_2$. Аналогично равноудалены и точки $B$, $C$. Значит, $A$, $B$, $C$ лежат на серединном
перпендикуляре к отрезку $M_1M_2$ — то есть на одной прямой.
5
Но вершины треугольника $ABC$ не лежат на одной прямой — противоречие! Значит, предположение
неверно, и отображения $f$ и $g$ совпадают всюду. Теорема доказана: движение $g$
является наложением.
Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.
⚠️ Частая ошибка: считать, что «движение» в геометрии — это обязательно сдвиг фигуры без
изменения её вида, как в обычной жизни. На самом деле осевая симметрия — тоже движение, хотя она
«переворачивает» фигуру зеркально (обход вершин треугольника по часовой стрелке становится обходом
против часовой стрелки). Единственное требование к движению — сохранение расстояний между точками, а не
сохранение ориентации.
🧠 Запомни:
Отображение плоскости на себя — правило, по которому каждой точке плоскости сопоставлена точка
этой же плоскости, причём у каждой точки есть прообраз.
Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками.
Осевая и центральная симметрии — примеры движений.
Наложение — движение, которым фигуры совмещают при доказательстве равенства.
Любое наложение — движение, и любое движение — наложение (это две теоремы, доказанные выше).
Следствие: при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.