💡 Из жизни: возьми карандаш и покрути его в руках так быстро, чтобы силуэт «размазался» —
шестигранный карандаш на глаз превратится в цилиндр. Именно так эти тела и определяют: берут плоскую фигуру
и вращают её вокруг прямой, лежащей в той же плоскости (оси). Каждая точка фигуры описывает
окружность, а всё тело «заметает» пространство вокруг оси. Загляни на вкладку
«Вращение» справа — там можно провернуть прямоугольник,
прямоугольный треугольник и полукруг и своими глазами увидеть, как из плоской фигуры рождается тело.
Ниже — три главных тела вращения: цилиндр (из прямоугольника), конус
(из прямоугольного треугольника) и шар (из полукруга).
Цилиндр
Определение. Возьмём прямоугольник $ABCD$ и будем вращать его вокруг одной из сторон,
например стороны $AB$. Получившееся тело называется
цилиндром. Прямая $AB$ — ось цилиндра, а отрезок
$AB$ — его высота.
При вращении сторон $AD$ и $BC$ образуются два равных круга — основания
цилиндра, их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны $CD$ образуется
боковая (цилиндрическая) поверхность, составленная из
отрезков, параллельных оси, — их называют образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр —
это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту (доказывается с помощью
принципа Кавальери — сравнением с призмой равной высоты и площади основания):
$$V = \pi r^2 h$$
Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей и развернуть, получится прямоугольник —
развёртка боковой поверхности. Одна его сторона равна длине окружности основания $2\pi r$,
другая — высоте $h$. Поэтому площадь боковой поверхности равна площади этой развёртки:
$$S_{бок} = 2\pi r h$$
💡 Покрути ползунки $r$ и $h$ на вкладке «Цилиндр» — объём и площадь боковой поверхности пересчитаются
сразу же.
Конус
Определение. Возьмём прямоугольный треугольник $ABC$ и будем вращать его вокруг
катета $AB$. Получившееся тело называется конусом.
Прямая $AB$ — ось конуса, отрезок $AB$ — его высота.
При вращении катета $BC$ образуется круг — основание конуса.
При вращении гипотенузы $AC$ образуется боковая (коническая)
поверхность — она составлена из отрезков с общим концом $A$, которые называются
образующими конуса. Конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.
Объём конуса (тоже доказывается через принцип Кавальери — сравнением с пирамидой) равен одной трети
произведения площади основания на высоту:
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
Развёртка боковой поверхности конуса с радиусом основания $r$ и образующей $l$ — это круговой сектор радиуса
$l$, длина дуги которого равна длине окружности основания $2\pi r$. Из этого выводится:
$$S_{бок} = \pi r l$$
⚠️ Частая ошибка: если вращать один и тот же прямоугольный треугольник вокруг
разных катетов, получаются разные конусы — то, что было радиусом, становится высотой,
и наоборот! Всегда сначала смотри, вокруг какой стороны идёт вращение — от этого зависит, что в задаче
$r$, а что $h$ (точно так же для цилиндра: прямоугольник, вращаемый вокруг разных сторон, даёт разные
цилиндры).
Сфера и шар
Определение.Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Точка — центр
сферы ($O$), расстояние — радиус сферы ($R$). Отрезок,
соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, — диаметр
сферы, он равен $2R$.
Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называют также
центром, радиусом и диаметром шара. Шар может быть получен вращением полукруга вокруг его
диаметра, а сфера образуется вращением одной лишь полуокружности (проверь это на вкладке
«Вращение»).
Объём шара (доказывается через принцип Кавальери — половину шара сравнивают с цилиндром, из которого
вырезан конус):
$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$
В отличие от цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, поэтому вывести формулу площади
«через развёртку» не получится — строгий вывод будет в 11 классе. Учебник принимает без доказательства:
$$S = 4\pi R^2$$
💡 Подвигай ползунок сечения на вкладке «Шар»: любое сечение шара плоскостью — это круг
(выделен оранжевым), а его радиус тем меньше, чем дальше
секущая плоскость от центра $O$.
Пример
Условие. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг
меньшего катета. Найдите площади боковой и полной поверхностей полученного конуса.
1
Вращение идёт вокруг меньшего катета (6 см) — значит, это и есть ось конуса, а его
высота $h = 6$ см.
2
Больший катет (8 см) при вращении заметает круг — основание конуса. Значит,
радиус $r = 8$ см.
3
Гипотенуза становится образующей $l$. По теореме Пифагора:
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ см.
4
Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=\pi r l = \pi\cdot 8\cdot 10 = 80\pi$ см².
5
Площадь полной поверхности: $S_{полн}=S_{бок}+\pi r^2 = 80\pi + \pi\cdot 8^2 = 80\pi+64\pi=144\pi$ см².
🧠 Запомни:
Цилиндр = вращение прямоугольника вокруг стороны: $V=\pi r^2h$,
$S_{бок}=2\pi rh$.
Конус = вращение прямоугольного треугольника вокруг катета: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$,
$S_{бок}=\pi rl$, где $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
Шар = вращение полукруга вокруг диаметра (сфера — вращение полуокружности):
$V=\frac{4}{3}\pi R^3$, $S=4\pi R^2$.
Все три объёма доказываются через принцип Кавальери: одинаковые по площади сечения
на любой высоте ⇒ одинаковые объёмы.
Важно: от того, вокруг какой стороны идёт вращение, зависит, что радиус, а что высота.
Закрепи в практике
3 тренажёра по этому параграфу. Каждый вариант — с новыми
числами; разбор после каждого ответа.