§2. Тела и поверхности вращения

Тела вращения — общая идея

      💡 Из жизни: возьми карандаш и покрути его в руках так быстро, чтобы силуэт «размазался» —
      шестигранный карандаш на глаз превратится в цилиндр. Именно так эти тела и определяют: берут плоскую фигуру
      и вращают её вокруг прямой, лежащей в той же плоскости (оси). Каждая точка фигуры описывает
      окружность, а всё тело «заметает» пространство вокруг оси. Загляни на вкладку
      «Вращение» справа — там можно провернуть прямоугольник,
      прямоугольный треугольник и полукруг и своими глазами увидеть, как из плоской фигуры рождается тело.
    

Ниже — три главных тела вращения: цилиндр (из прямоугольника), конус (из прямоугольного треугольника) и шар (из полукруга).

129. Цилиндр

Определение. Возьмём прямоугольник $ABCD$ и будем вращать его вокруг одной из сторон, например стороны $AB$. Получившееся тело называется цилиндром. Прямая $AB$ — ось цилиндра, а отрезок $AB$ — его высота.

При вращении сторон $AD$ и $BC$ образуются два равных круга — основания цилиндра, их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны $CD$ образуется боковая (цилиндрическая) поверхность, составленная из отрезков, параллельных оси, — их называют образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту (доказывается с помощью принципа Кавальери — сравнением с призмой равной высоты и площади основания): $$V = \pi r^2 h$$

Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей и развернуть, получится прямоугольник — развёртка боковой поверхности. Одна его сторона равна длине окружности основания $2\pi r$, другая — высоте $h$. Поэтому площадь боковой поверхности равна площади этой развёртки:

$$S_{бок} = 2\pi r h$$

      💡 Покрути ползунки $r$ и $h$ на вкладке «Цилиндр» справа — объём и площадь боковой поверхности пересчитаются
      сразу же.
    

130. Конус

Определение. Возьмём прямоугольный треугольник $ABC$ и будем вращать его вокруг катета $AB$. Получившееся тело называется конусом. Прямая $AB$ — ось конуса, отрезок $AB$ — его высота.

При вращении катета $BC$ образуется круг — основание конуса. При вращении гипотенузы $AC$ образуется боковая (коническая) поверхность — она составлена из отрезков с общим концом $A$, которые называются образующими конуса. Конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Объём конуса (тоже доказывается через принцип Кавальери — сравнением с пирамидой) равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Развёртка боковой поверхности конуса с радиусом основания $r$ и образующей $l$ — это круговой сектор радиуса $l$, длина дуги которого равна длине окружности основания $2\pi r$. Из этого (см. учебник) выводится:

$$S_{бок} = \pi r l$$

⚠️ Частая ошибка: если вращать один и тот же прямоугольный треугольник вокруг разных катетов, получаются разные конусы — то, что было радиусом, становится высотой, и наоборот! Всегда сначала смотри, вокруг какой стороны идёт вращение — от этого зависит, что в задаче $r$, а что $h$ (точно так же для цилиндра: прямоугольник, вращаемый вокруг разных сторон, даёт разные цилиндры).

131. Сфера и шар

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Точка — центр сферы ($O$), расстояние — радиус сферы ($R$). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, — диаметр сферы, он равен $2R$.

Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называют также центром, радиусом и диаметром шара. Шар может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра, а сфера образуется вращением одной лишь полуокружности (проверь это на вкладке «Вращение»).

Объём шара (доказывается через принцип Кавальери — половину шара сравнивают с цилиндром, из которого вырезан конус, задача 1224): $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

В отличие от цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, поэтому вывести формулу площади «через развёртку» не получится — строгий вывод будет в 11 классе. Учебник принимает без доказательства:

$$S = 4\pi R^2$$

      💡 Подвигай ползунок сечения на вкладке «Шар» справа: любое сечение шара плоскостью — это круг
      (выделен оранжевым), а его радиус тем меньше, чем дальше
      секущая плоскость от центра $O$.
    

Пример: задача 1223

Условие. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площади боковой и полной поверхностей полученного конуса.

🧠 Запомни:

Цилиндр = вращение прямоугольника вокруг стороны: $V=\pi r^2h$, $S_{бок}=2\pi rh$.
Конус = вращение прямоугольного треугольника вокруг катета: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$, $S_{бок}=\pi rl$, где $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
Шар = вращение полукруга вокруг диаметра (сфера — вращение полуокружности): $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, $S=4\pi R^2$.
Все три объёма доказываются через принцип Кавальери: одинаковые по площади сечения на любой высоте ⇒ одинаковые объёмы.
Важно: от того, вокруг какой стороны идёт вращение, зависит, что радиус, а что высота.