Что изучает стереометрия
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и
стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур
на плоскости. Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются
свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов
«стереос» — объёмный, пространственный, и «метрео» — измерять.
Определение. Простейшими, основными фигурами в пространстве являются
точки, прямые и плоскости. Наряду с ними в стереометрии рассматривают
геометрические тела и их поверхности.
Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Кристаллы имеют
форму тел, поверхности которых составлены из многоугольников — такие поверхности
называются многогранниками (простейший пример — куб). Капля жидкости
в невесомости или футбольный мяч принимают форму шара. Консервная банка
имеет форму цилиндра.
В отличие от реальных предметов геометрические тела — воображаемые объекты.
Геометрическое тело представляют как часть пространства, отделённую от остальной
части пространства поверхностью — границей этого тела. Например,
граница шара — сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов (оснований) и
боковой поверхности.
💡 Практическое значение: изучая свойства геометрических фигур,
мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (форме,
взаимном расположении) и используем эти знания на практике. Стереометрия широко
применяется в строительстве, архитектуре, машиностроении, геодезии.
Основные фигуры и обозначения
В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними
рассматривается ещё одна основная фигура — плоскость. Представление
о плоскости даёт гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую
фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Обозначения:
- точки — прописные латинские буквы: $A, B, C$...
- прямые — строчные латинские буквы $a, b, c$... или парой точек: $AB$, $CD$...
- плоскости — греческие буквы: $\alpha, \beta, \gamma$...
Принадлежность точки плоскости записывают так: $A \in \beta$ (точка $A$ лежит
в плоскости $\beta$), $M \notin \beta$ (точка $M$ не лежит в плоскости $\beta$).
Аксиомы стереометрии
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения,
выражены в аксиомах. Ниже сформулированы три аксиомы о взаимном
расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве — А1,
А2, А3.
А1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой, иногда
называют плоскостью $ABC$. Отметим: если взять не три, а четыре произвольные точки, то
через них может не проходить ни одна плоскость — четыре точки могут не лежать в одной
плоскости.
А2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости, или плоскость проходит через
прямую. Из аксиомы А2 следует: если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет
с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую
точку, говорят, что они пересекаются.
А3
Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
💡 Из жизни: если у стула ножки неодинаковы по длине, то стул стоит
на трёх ножках — опирается на три точки (аксиома А1), а конец четвёртой ножки не лежит
в плоскости пола и «висит» в воздухе. Свойство аксиомы А2 используют для проверки
«ровности» чертёжной линейки: если её край ровный, он всеми точками прилегает к
поверхности стола. Пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты —
наглядная иллюстрация аксиомы А3.
В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости
справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Признаки равенства и подобия
треугольников, известные из планиметрии, справедливы и для треугольников,
расположенных в разных плоскостях.
Следствия из аксиом
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
1
Рассмотрим прямую $a$ и не лежащую на ней точку $M$. Отметим на прямой $a$
две точки $P$ и $Q$.
2
Точки $M$, $P$ и $Q$ не лежат на одной прямой, поэтому согласно
аксиоме А1 через них проходит некоторая
плоскость $\alpha$, и притом только одна.
3
Так как две точки прямой $a$ ($P$ и $Q$) лежат в плоскости $\alpha$, то по
аксиоме А2 плоскость $\alpha$ проходит
через всю прямую $a$.
4
Итак, плоскость $\alpha$ проходит и через прямую $a$, и через точку $M$.
5
Единственность. Любая плоскость, проходящая через прямую $a$
и точку $M$, проходит и через точки $M$, $P$, $Q$. А через эти три точки, не лежащие
на одной прямой, по аксиоме А1 проходит только одна плоскость — значит, эта плоскость
совпадает с $\alpha$. Теорема доказана.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
1
Рассмотрим прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$. Отметим на прямой $b$
точку $N$, отличную от $M$.
2
Точка $N$ не лежит на прямой $a$ (прямые $a$ и $b$ пересекаются только в точке
$M$), поэтому по доказанной теореме 1 через прямую $a$ и точку $N$ проходит
плоскость $\alpha$, и притом только одна.
3
Так как две точки прямой $b$ ($M$ и $N$) лежат в плоскости $\alpha$, то по
аксиоме А2 плоскость $\alpha$ проходит
через всю прямую $b$.
4
Значит, плоскость $\alpha$ проходит через обе прямые — $a$ и $b$.
5
Единственность. Любая плоскость, проходящая через $a$ и $b$,
проходит через прямую $a$ и точку $N$ — а такая плоскость единственна (теорема 1).
Значит, она совпадает с $\alpha$. Теорема доказана.
⚠️ Частая ошибка: в аксиоме А1 забывают условие «не лежащие на одной
прямой» и говорят «через любые три точки проходит единственная плоскость». Это неверно:
через три точки, лежащие на одной прямой, проходит не одна, а бесконечно много
плоскостей (прямую можно «повернуть» вокруг себя как ось). Условие некомпланарности
точек в аксиоме — обязательное.
🧠
Запомни:
- Стереометрия изучает фигуры в пространстве; основные фигуры — точка, прямая, плоскость.
- А1: через 3 точки не на одной прямой — ровно одна плоскость.
- А2: если 2 точки прямой лежат в плоскости — вся прямая лежит в этой плоскости.
- А3: если 2 плоскости имеют общую точку — они пересекаются по прямой.
- Следствия: через прямую и точку вне неё — ровно одна плоскость; через две
пересекающиеся прямые — ровно одна плоскость.