§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются или параллельны, они всегда лежат в одной плоскости.
Но в пространстве бывает и третий случай: прямые расположены так, что вообще не
существует плоскости, которая проходила бы через обе сразу. Такие прямые, очевидно,
не пересекаются и не параллельны.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.
💡 Из жизни: Наглядный образ скрещивающихся прямых — две дороги, одна
из которых проходит по эстакаде, а другая —
под эстакадой. Они нигде не пересекаются, и
при этом нет такой плоскости, которая содержала бы обе дороги сразу.
Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту
плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
1
Рассмотрим прямую $AB$, лежащую в плоскости $\alpha$, и прямую $CD$,
пересекающую эту плоскость в точке $C$, не лежащей на прямой $AB$. Докажем, что
$AB$ и $CD$ — скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости.
2
Предположим противное: пусть прямые $AB$ и $CD$ всё же лежат в некоторой
плоскости $\beta$.
3
Тогда плоскость $\beta$ проходит через прямую $AB$ и точку $C$. Но через прямую
и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость — значит, $\beta$
совпадает с плоскостью $\alpha$.
4
Получается, что прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$. Но это противоречит
условию: $CD$ лишь пересекает $\alpha$ в точке $C$ и не лежит в ней целиком.
Противоречие доказывает, что общей плоскости у $AB$ и $CD$ нет — они скрещивающиеся.
Три случая взаимного расположения прямых
Итак, для двух прямых в пространстве возможен ровно один из трёх случаев:
прямые пересекаются — имеют ровно одну общую точку;
прямые параллельны — лежат в одной плоскости и не пересекаются;
прямые скрещиваются — не лежат в одной плоскости.
⚠️ Частая ошибка: «Прямые не пересекаются — значит, они параллельны».
В пространстве это неверно! Не пересекаться могут не только параллельные, но и
скрещивающиеся прямые. Чтобы прямые были параллельны, мало того, что у них нет общих
точек — нужно ещё, чтобы они лежали в одной плоскости.
Угол между прямыми
Угол между пересекающимися прямыми
Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвёрнутых
угла. Если известен один из них, легко найти и остальные три. Углом между
пересекающимися прямыми называют наименьший из этих четырёх углов.
Угол между пересекающимися прямыми — это тот из четырёх образованных ими углов,
который не превосходит остальных трёх. Очевидно, $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.
Угол между скрещивающимися прямыми
Чтобы измерить угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$, напрямую это сделать
нельзя — у них ведь нет общей точки. Поступают так: берут произвольную точку
$M_1$ и проводят через неё прямые $A_1B_1 \parallel AB$ и $C_1D_1 \parallel CD$.
Эти две прямые уже пересекаются в точке $M_1$ — значит, между ними есть обычный угол
$\varphi$, который и называют углом между исходными скрещивающимися прямыми.
Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ — это угол $\varphi$
между прямыми $A_1B_1 \parallel AB$ и $C_1D_1 \parallel CD$, проведёнными через
произвольную точку $M_1$.
Важный факт: этот угол не зависит от выбора точки $M_1$ — где бы мы
её ни взяли, получим одну и ту же величину $\varphi$. Доказывается это через теорему об
углах с сонаправленными сторонами (такие углы равны), поэтому перенос точки не меняет
величины угла.
1
Возьмём точку $M_1$ и проведём через неё прямые $A_1B_1 \parallel AB$ и
$C_1D_1 \parallel CD$. Угол между ними равен $\varphi$.
2
Возьмём другую точку $M_2$ и аналогично проведём $A_2B_2 \parallel AB$ и
$C_2D_2 \parallel CD$.
3
Стороны углов при $M_1$ и при $M_2$ попарно сонаправлены (обе пары построены
как параллельный перенос одних и тех же прямых $AB$ и $CD$). По теореме об углах
с сонаправленными сторонами такие углы равны.
4
Значит, угол между $A_2B_2$ и $C_2D_2$ тоже равен $\varphi$ — величина угла не
зависит от выбора точки. В частности, точку $M_1$ можно брать прямо на одной из
скрещивающихся прямых — тогда достаточно провести только одну параллельную прямую.
🧠 Запомни: Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, перенеси
одну из них (или обе) параллельно самой себе так, чтобы они пересеклись в одной точке —
и найди обычный угол между пересекающимися прямыми (тот, что $\le 90^\circ$). Это и есть
угол между исходными скрещивающимися прямыми.