Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и
b обозначается так: $a \parallel b$.
Обрати внимание: в пространстве недостаточно того, что прямые «не пересекаются» — они
обязаны ещё и лежать в одной плоскости. Прямые, которые не лежат в одной плоскости и не
пересекаются, называются скрещивающимися (об этом — в следующем параграфе)
и параллельными не являются.
💡 Из жизни: Два рельса железной дороги — параллельные прямые: они лежат
в одной плоскости (плоскости полотна дороги) и никогда не пересекаются. А вот, скажем,
верхнее ребро шкафа и труба на потолке в другом углу комнаты могут не пересекаться, но
при этом не лежать в одной плоскости — тогда они не параллельны, а скрещиваются.
Теорема о единственности параллельной прямой
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная
данной, и притом только одна.
1
Рассмотрим прямую $a$ и точку $M$, не лежащую на этой прямой.
2
Через прямую $a$ и точку $M$ проходит плоскость $\beta$, и притом только одна
(это аксиома стереометрии). Любая прямая, параллельная $a$ и проходящая через $M$,
обязана лежать в этой же плоскости $\beta$ — иначе она не будет лежать в одной
плоскости с $a$.
3
Но в плоскости $\beta$, как известно из планиметрии, через точку $M$ проходит
прямая, параллельная прямой $a$, и притом только одна — на рисунке это прямая
$b$.
4
Значит, $b$ — единственная прямая, проходящая через $M$ параллельно $a$.
Теорема доказана.
Аналогично параллельными называют два отрезка,
если они лежат на параллельных прямых, а также отрезок и прямую, два луча — если их
направляющие прямые параллельны.
Лемма и теорема о трёх параллельных прямых
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость,
то и другая прямая пересекает эту плоскость.
1
Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны и лежат в плоскости $\beta$, причём прямая $a$
пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$.
2
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны и имеют общую точку $M$ — значит, по аксиоме
стереометрии они пересекаются по некоторой прямой $p$.
3
Прямая $p$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает прямую $a$ (в точке $M$), значит
она пересекает и параллельную ей прямую $b$ — в некоторой точке $N$.
4
Прямая $p$ лежит также в плоскости $\alpha$, поэтому $N$ — общая точка прямой $b$
и плоскости $\alpha$. Других общих точек с $\alpha$ у прямой $b$ быть не может (иначе
$b$ совпала бы с $p$, а тогда $a$ и $p$ не пересекались бы — противоречие). Значит,
$b$ пересекает $\alpha$ ровно в точке $N$. Лемма доказана.
Теорема о параллельности трёх прямых
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой:
$a \parallel c$ и $b \parallel c$ $\Rightarrow$ $a \parallel b$.
Доказательство опирается на лемму выше. Нужно показать, что $a$ и $b$: 1) лежат
в одной плоскости и 2) не пересекаются.
1
Возьмём точку $K$ на прямой $b$ и проведём через прямую $a$ и точку $K$ плоскость
$\alpha$. Если бы прямая $b$ пересекала $\alpha$, то по лемме прямая $c$ тоже пересекала
бы $\alpha$ — а тогда и параллельная ей прямая $a$ тоже пересекала бы $\alpha$, что
невозможно: $a$ целиком лежит в $\alpha$. Значит, $b$ лежит в плоскости $\alpha$ — то есть
$a$ и $b$ лежат в одной плоскости.
2
Если бы $a$ и $b$ пересекались, то через точку их пересечения проходили бы сразу две
прямые, параллельные $c$, — а это противоречит теореме о единственности параллельной
прямой. Значит, $a$ и $b$ не пересекаются. Теорема доказана.
Параллельность прямой и плоскости
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости: прямая лежит в
плоскости; прямая и плоскость пересекаются (имеют ровно одну общую точку); прямая и
плоскость не имеют общих точек.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек. Обозначение:
$a \parallel \alpha$.
💡 Из жизни: Провода троллейбусной линии параллельны плоскости земли —
они нигде её не касаются. Другой пример: линия пересечения стены и потолка параллельна
плоскости пола, а линия пересечения этой же стены с полом — та самая прямая
в плоскости пола, которая параллельна первой.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей
в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
1
Пусть прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ не лежит в $\alpha$,
причём $a \parallel b$. Докажем, что $a \parallel \alpha$.
Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (см. выше) прямая
$b$ тоже пересекает плоскость $\alpha$.
4
Но это невозможно: прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, а значит не
может её «пересекать». Противоречие означает, что прямая $a$ не пересекает $\alpha$ —
то есть $a \parallel \alpha$. Теорема доказана.
⚠️ Частая ошибка: «Две прямые не пересекаются — значит, они параллельны».
В пространстве это неверно! Прямые, которые не лежат в одной плоскости, могут не
пересекаться, но при этом не быть параллельными — они скрещивающиеся. Параллельность
требует ДВУХ условий одновременно: лежать в одной плоскости и не пересекаться.
🧠 Запомни: Чтобы доказать $a \parallel \alpha$, не обязательно
показывать, что $a$ не имеет общих точек с $\alpha$ напрямую — достаточно найти в
плоскости $\alpha$ хотя бы одну прямую, параллельную $a$. Это и есть признак
параллельности прямой и плоскости — им пользуются почти во всех задачах на эту тему.