Мы уже знаем: если у двух плоскостей есть хотя бы одна общая точка, то они пересекаются
по прямой (это аксиома А3). Значит, для двух плоскостей в пространстве возможен только
один из двух вариантов: либо они пересекаются
по прямой, либо у них вообще нет общих
точек.
Определение. Две плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются.
Параллельность плоскостей $\alpha$ и $\beta$ обозначается: $\alpha \parallel \beta$.
💡 Из жизни: Пол и потолок комнаты, две противоположные стены,
поверхность стола и плоскость пола — всё это модели параллельных плоскостей: сколько ни
продолжай их мысленно, общей точки у них нет.
Признак параллельности плоскостей
Проверять напрямую, что у двух плоскостей нет ни одной общей точки, неудобно — точек
бесконечно много. Поэтому используют признак: достаточно найти всего две пересекающиеся
прямые.
Теорема (признак параллельности плоскостей). Если две
пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Рассмотрим плоскость $\alpha$, в которой пересекаются в точке
$M$ прямые $a$ и $b$, и плоскость $\beta$, в
которой лежат прямые $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$, пересекающиеся в точке
$M_1$.
1
Прямые $a$ и $b$ пересекаются в плоскости $\alpha$ в точке $M$. По признаку
параллельности прямой и плоскости (из §1): раз $a \parallel a_1$, а $a_1$ лежит в
$\beta$, то $a \parallel \beta$. Аналогично $b \parallel \beta$.
2
Допустим противное: плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны.
Тогда они пересекаются по некоторой прямой $c$.
3
Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\beta$,
и пересекает $\beta$ по прямой $c$. Значит, $a \parallel c$ (прямая, параллельная
плоскости, параллельна и линии пересечения плоскости, проходящей через эту прямую).
4
Точно так же плоскость $\alpha$ проходит через прямую $b$, параллельную $\beta$ —
значит, $b \parallel c$ тоже.
5
Получилось, что через точку $M$ проходят сразу две различные прямые ($a$ и $b$),
каждая из которых параллельна прямой $c$. Но по теореме о параллельных прямых через
точку вне прямой можно провести только одну прямую, ей параллельную. Противоречие!
Значит, допущение неверно, и $\alpha \parallel \beta$.
Свойства параллельных плоскостей
Свойство 1. Линии пересечения с третьей плоскостью
Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения
параллельны.
💡 Из жизни: Линии, по которым стена комнаты пересекает пол и потолок —
это как раз линии пересечения параллельных плоскостей (пола и потолка) третьей плоскостью
(стеной). Они параллельны — это видно невооружённым глазом.
1
Пусть плоскости $\alpha \parallel \beta$ пересечены плоскостью $\gamma$: с $\alpha$
— по прямой $a$, с $\beta$ — по прямой $b$.
2
Прямые $a$ и $b$ обе лежат в одной плоскости $\gamma$ — значит, они либо
пересекаются, либо параллельны.
3
Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, у плоскостей $\alpha$ и $\beta$ нашлась бы
общая точка — а это противоречит тому, что $\alpha \parallel \beta$. Значит, $a$ и $b$
не пересекаются, то есть $a \parallel b$.
Свойство 2. Отрезки параллельных прямых между плоскостями
Отрезки параллельных прямых, заключённые между
двумя параллельными плоскостями, равны.
1
Пусть отрезки $AB$ и $CD$ двух параллельных прямых заключены между параллельными
плоскостями $\alpha$ и $\beta$ ($A, C \in \alpha$; $B, D \in \beta$). Проведём плоскость
$\gamma$ через параллельные прямые $AB$ и $CD$.
2
Плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $AC$ и $\beta$ по прямой $BD$.
По свойству 1 (доказанному выше) линии пересечения параллельны: $AC \parallel BD$.
3
Итак, в четырёхугольнике $ABDC$: $AB \parallel CD$ (по условию) и
$AC \parallel BD$ (по шагу 2). Значит, $ABDC$ — параллелограмм.
4
А в параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, $AB = CD$, что и
требовалось доказать.
⚠️ Частая ошибка: «В плоскости $\alpha$ есть прямая, параллельная какой-то
прямой в плоскости $\beta$ — значит, $\alpha \parallel \beta$». Это неверно! Одной пары
параллельных прямых недостаточно — через общую точку плоскостей всегда можно провести
такую прямую. Признак требует две пересекающиеся прямые одной плоскости,
каждая из которых параллельна своей прямой в другой плоскости.
🧠 Запомни: Чтобы доказать $\alpha \parallel \beta$, не ищи «отсутствие
общих точек» напрямую — найди в $\alpha$ две пересекающиеся прямые, параллельные двум
прямым в $\beta$. А если плоскости уже параллельны — пользуйся двумя следствиями: третья
плоскость пересекает их по параллельным прямым, а отрезки параллельных прямых между ними
всегда равны.