10 класс · Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность плоскостей
Параллельные плоскости
Мы уже знаем: если у двух плоскостей есть хотя бы одна общая точка, то они пересекаются по прямой (это аксиома А3). Значит, для двух плоскостей в пространстве возможен только один из двух вариантов: либо они пересекаются по прямой, либо у них вообще нет общих точек.
Определение. Две плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются.
Параллельность плоскостей $\alpha$ и $\beta$ обозначается: $\alpha \parallel \beta$.
💡 Из жизни: Пол и потолок комнаты, две противоположные стены,
поверхность стола и плоскость пола — всё это модели параллельных плоскостей: сколько ни
продолжай их мысленно, общей точки у них нет.
Признак параллельности плоскостей
Проверять напрямую, что у двух плоскостей нет ни одной общей точки, неудобно — точек бесконечно много. Поэтому используют признак: достаточно найти всего две пересекающиеся прямые.
Теорема (признак параллельности плоскостей). Если две
пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Рассмотрим плоскость $\alpha$, в которой пересекаются в точке $M$ прямые $a$ и $b$, и плоскость $\beta$, в которой лежат прямые $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$, пересекающиеся в точке $M_1$.
Свойства параллельных плоскостей
Свойство 1. Линии пересечения с третьей плоскостью
Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения
параллельны.
💡 Из жизни: Линии, по которым стена комнаты пересекает пол и потолок —
это как раз линии пересечения параллельных плоскостей (пола и потолка) третьей плоскостью
(стеной). Они параллельны — это видно невооружённым глазом.
Свойство 2. Отрезки параллельных прямых между плоскостями
Отрезки параллельных прямых, заключённые между
двумя параллельными плоскостями, равны.
⚠️ Частая ошибка: «В плоскости $\alpha$ есть прямая, параллельная какой-то
прямой в плоскости $\beta$ — значит, $\alpha \parallel \beta$». Это неверно! Одной пары
параллельных прямых недостаточно — через общую точку плоскостей всегда можно провести
такую прямую. Признак требует две пересекающиеся прямые одной плоскости,
каждая из которых параллельна своей прямой в другой плоскости.
🧠 Запомни: Чтобы доказать $\alpha \parallel \beta$, не ищи «отсутствие
общих точек» напрямую — найди в $\alpha$ две пересекающиеся прямые, параллельные двум
прямым в $\beta$. А если плоскости уже параллельны — пользуйся двумя следствиями: третья
плоскость пересекает их по параллельным прямым, а отрезки параллельных прямых между ними
всегда равны.