Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и точку $D$, не лежащую в плоскости этого
треугольника. Соединим точку $D$ отрезками с вершинами треугольника — получим ещё три
треугольника: $DAB$, $DBC$ и $DCA$.
Определение. Поверхность, составленная из четырёх треугольников $ABC$,
$DAB$, $DBC$ и $DCA$, называется тетраэдром и обозначается $DABC$.
Треугольники, из которых составлен тетраэдр, называются его
гранями, их стороны —
рёбрами, а вершины —
вершинами тетраэдра. У тетраэдра
4 грани, 6 рёбер и 4 вершины. Иногда одну из граней называют основанием, а три
остальные — боковыми гранями.
Два ребра тетраэдра, не имеющие общей вершины, называются противоположными.
У тетраэдра $ABCD$ три пары противоположных рёбер:
$AB$ и $CD$,
$AC$ и $BD$,
$AD$ и $BC$.
💡 Из жизни: Треугольная пирамида — простейшее пространственное тело.
Даже упаковка молока Tetra Pak получила своё название именно от формы тетраэдра, в которой
эту упаковку выпускали изначально.
Параллелепипед
Рассмотрим два равных параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, расположенных в
параллельных плоскостях так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны.
Тогда четырёхугольники $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$ тоже оказываются
параллелограммами — ведь каждая пара их противоположных сторон параллельна.
Определение. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов
$ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ и четырёх параллелограммов $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$,
$DAA_1D_1$, называется параллелепипедом и обозначается $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, — это его
грани (всего 6), их стороны —
рёбра (12), а вершины параллелограммов —
вершины параллелепипеда (8). Две грани,
имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер — противоположными.
Отрезок, соединяющий противоположные вершины (не принадлежащие одной грани), называется
диагональю параллелепипеда — таких
диагоналей всего четыре.
💡 Из жизни: Кирпич, коробка от обуви, комната, системный блок компьютера —
всё это параллелепипеды: шесть граней-параллелограммов (чаще прямоугольников), и
противоположные грани всегда параллельны друг другу.
⚠️ Частая ошибка: Путают диагональ параллелепипеда с диагональю грани.
Диагональ грани (например, $AC$ в параллелограмме $ABCD$) лежит внутри одной из шести
граней. А настоящая диагональ параллелепипеда (например, $AC_1$) соединяет вершины, вообще
не принадлежащие одной грани. Диагоналей граней — двенадцать, а настоящих диагоналей
параллелепипеда — всего четыре.
Свойство 1. Противоположные грани параллельны и равны
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Докажем это на примере граней $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
1
Так как $ABCD$ и $ADD_1A_1$ — параллелограммы, то $AB \parallel DC$ и
$AA_1 \parallel DD_1$.
2
Значит, две пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$ одной грани соответственно
параллельны двум пересекающимся прямым $DC$ и $DD_1$ другой грани. По признаку
параллельности плоскостей (§3) грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны.
3
Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то $AB = DC$ и $AA_1 = DD_1$,
а углы $A_1AB$ и $D_1DC$ равны (их стороны сонаправлены). Две смежные стороны и угол
между ними одного параллелограмма равны двум смежным сторонам и углу между ними другого —
значит, грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ равны.
Свойство 2. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
1
Рассмотрим четырёхугольник $A_1D_1CB$, диагонали которого $A_1C$ и $D_1B$ являются
диагоналями параллелепипеда. Так как $A_1D_1 \parallel BC$ и $A_1D_1 = BC$, то
$A_1D_1CB$ — параллелограмм. Значит, его диагонали пересекаются в некоторой точке $O$
и делятся ею пополам.
2
Рассмотрим четырёхугольник $AD_1C_1B$ — он тоже параллелограмм, поэтому его
диагонали $AC_1$ и $D_1B$ пересекаются и делятся пополам. Но серединой $D_1B$ уже
является точка $O$ — значит, $AC_1$ тоже проходит через $O$ и делится ею пополам.
3
Точно так же, рассматривая четырёхугольник $A_1B_1CD$, устанавливаем, что и
четвёртая диагональ $DB_1$ проходит через точку $O$ и делится ею пополам.
4
Итак, все четыре диагонали $A_1C$, $D_1B$, $AC_1$ и $DB_1$ пересекаются в одной
точке $O$ и делятся этой точкой пополам.
🧠 Запомни: Тетраэдр — 4 грани, 6 рёбер, 4 вершины. Параллелепипед — 6
граней, 12 рёбер, 8 вершин и ровно 4 диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся
ею пополам.
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Определение. Секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) называют любую
плоскость, по обе стороны от которой есть точки этого тела. Она пересекает грани тела по
отрезкам, а многоугольник, составленный из этих отрезков, называется сечением.
У тетраэдра всего 4 грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и
четырёхугольники. У параллелепипеда 6 граней, поэтому его сечения — это треугольники,
четырёхугольники,
пятиугольники и даже
шестиугольники.
Чтобы построить сечение, достаточно найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами
тела, а затем соединить отрезками те из построенных точек, что лежат в одной грани.
Задача. Сечение тетраэдра методом следов
На рёбрах $AB$, $BD$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $M$, $N$ и $P$. Построим
сечение тетраэдра плоскостью $MNP$.
1
Точка $M$ — общая точка плоскостей $MNP$ и $ABC$ (обе плоскости проходят через $M$,
ведь $M$ лежит на ребре $AB$, которое принадлежит грани $ABC$).
2
Чтобы найти вторую общую точку этих плоскостей, продолжим отрезки $NP$ и $BC$ до их
пересечения — получим точку $E$. Прямая $ME$ — линия пересечения плоскостей $MNP$
и $ABC$.
3
Прямая $ME$ пересекает ребро $AC$ в некоторой точке $Q$ — это ещё одна вершина
сечения.
Если бы прямые $NP$ и $BC$ оказались параллельны, плоскость $MNP$ была бы параллельна
ребру $BC$ — тогда точку $Q$ находят иначе: через $M$ проводят прямую, параллельную $NP$,
до пересечения с ребром $AC$. Попробуй подвести точки $N$ и $P$ в интерактиве так, чтобы
$NP$ стал параллелен $BC$, — программа сама перестроит сечение по этому правилу.
Сечения параллелепипеда
Если три данные точки лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины, — сечение
треугольник: просто соединяем точки
отрезками. Если точки расположены иначе, при построении сечения пользуются важным фактом:
если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти
отрезки параллельны (это следует из свойства 1 в начале страницы) — так получаются
пятиугольные и
шестиугольные сечения.