Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90°$. Перпендикулярность прямых $a$ и $b$
обозначается так: $a \perp b$.
В отличие от планиметрии, перпендикулярные прямые в пространстве не обязаны пересекаться.
Прямые могут пересекаться (тогда угол между ними
измеряется как обычно) или быть скрещивающимися — тогда
угол между ними — это угол между направлениями этих прямых, независимо от того, где они
расположены в пространстве.
💡 Из жизни: Вертикальная труба водостока и горизонтальный карниз крыши почти
никогда не пересекаются — они находятся в разных плоскостях. Но направление трубы и направление
карниза всё равно образуют прямой угол, поэтому эти прямые перпендикулярны, хоть и скрещиваются.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая
перпендикулярна к этой прямой.
Пусть $a \parallel b$ и
$a \perp c$. Докажем, что
$b \perp c$.
1
Через произвольную точку $M$ пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые
$MA$ и $MC$, параллельные соответственно прямым $a$ и $c$. Так как $a \perp c$, то
$\angle AMC = 90°$.
2
По условию $b \parallel a$, а по построению $a \parallel MA$, поэтому $b \parallel MA$.
Значит, прямые $b$ и $c$ параллельны соответственно прямым $MA$ и $MC$.
3
Угол между прямыми $MA$ и $MC$ равен $90°$, а значит и угол между параллельными им
прямыми $b$ и $c$ тоже равен $90°$, т. е. $b \perp c$. Лемма доказана.
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой
плоскости.
Перпендикулярность прямой $a$ и плоскости $\alpha$ обозначается так: $a \perp \alpha$. Говорят
также, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна к прямой $a$.
Если прямая $a$ перпендикулярна к
плоскости $\alpha$, то она обязательно пересекает эту
плоскость. Действительно, если бы прямая $a$ не пересекала плоскость $\alpha$, то она либо лежала
бы в этой плоскости, либо была бы ей параллельна. Но тогда в плоскости $\alpha$ нашлись бы прямые,
не перпендикулярные к $a$ (например, параллельные ей), а это противоречит определению.
💡 Из жизни: Непокосившийся телеграфный столб стоит перпендикулярно к плоскости
земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, а линии пересечения
стен — по отношению к плоскости пола.
Потяни точку в интерактиве справа — она может занять любое положение в плоскости, и
угол между прямой $a$ и прямой, проведённой к этой точке из основания, всегда останется $90°$.
Теорема 1. Параллельность и перпендикулярность к плоскости
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
1
Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $a_1$ и плоскость $\alpha$, такую, что
$a \perp \alpha$. Проведём какую-нибудь прямую $x$ в плоскости $\alpha$. Так как
$a \perp \alpha$, то $a \perp x$.
2
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей $a_1 \perp x$. Так как
прямая $x$ была выбрана произвольно, прямая $a_1$ перпендикулярна к любой прямой плоскости
$\alpha$, т. е. $a_1 \perp \alpha$. Теорема доказана.
Теорема 2. Обратная теорема
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
1
Рассмотрим прямые $a$ и $b$, перпендикулярные к плоскости $\alpha$. Через какую-нибудь
точку $M$ прямой $b$ проведём прямую $b_1$, параллельную прямой $a$. По теореме 1
$b_1 \perp \alpha$.
2
Докажем, что прямая $b_1$ совпадает с прямой $b$. Допустим, что это не так. Тогда в
плоскости $\beta$, содержащей прямые $b$ и $b_1$, через точку $M$ проходят две прямые,
перпендикулярные к прямой $c$, по которой пересекаются плоскости $\alpha$ и $\beta$.
3
Но в плоскости через одну точку нельзя провести две различные прямые, перпендикулярные
к одной и той же прямой $c$ — это невозможно. Значит, $b_1$ совпадает с $b$, а тогда
$a \parallel b$. Теорема доказана.
🧠 Запомни: $a \perp \alpha$ означает: $a$ перпендикулярна абсолютно любой прямой
плоскости $\alpha$. Параллельные прямые «наследуют» перпендикулярность к плоскости друг от друга —
и в прямую, и в обратную сторону.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Проверять перпендикулярность прямой к плоскости по определению неудобно: пришлось бы
перебирать бесконечно много прямых плоскости. К счастью, для этого достаточно проверить всего
два пересекающихся направления — например, устанавливая мачту или колонну здания.
Теорема (признак). Если прямая перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она
перпендикулярна к этой плоскости.
1
Пусть прямая $a$ перпендикулярна к прямым $p$ и $q$, лежащим в плоскости $\alpha$ и
пересекающимся в точке $O$. Докажем, что $a \perp \alpha$, то есть что $a$ перпендикулярна к
произвольной прямой $m$ плоскости $\alpha$.
2
Рассмотрим случай, когда $a$ проходит через $O$. Проведём через $O$ прямую $l \parallel m$,
отметим на $a$ точки $A$ и $B$ так, что $O$ — середина $AB$, и проведём прямую, пересекающую
$p$, $q$ и $l$. Так как $p$ и $q$ — серединные перпендикуляры к $AB$, треугольники со сторонами
к $p$ и к $q$ равны, откуда следует равенство соответствующих углов.
3
Из равенства этих треугольников получаем, что точка пересечения $l$ с прямой $AB$
равноудалена от $A$ и от $B$. Значит, треугольник $ABL$ равнобедренный, и его медиана — высота,
т. е. $l \perp a$. Так как $l \parallel m$, то по лемме о трёх перпендикулярных прямых
$m \perp a$.
4
Значит, прямая $a$ перпендикулярна к любой прямой $m$ плоскости $\alpha$, т. е.
$a \perp \alpha$. Если же $a$ не проходит через $O$, проводим через $O$ прямую $a_1 \parallel a$
— по лемме $a_1 \perp p$ и $a_1 \perp q$, значит по доказанному $a_1 \perp \alpha$, а по теореме 1
и сама прямая $a \perp \alpha$. Теорема доказана.
Задача
Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой $a$.
Действительно: через прямую $a$ проведём две плоскости $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы данная точка
$M$ лежала в $\alpha$. В плоскости $\alpha$ через $M$ проведём прямую $p \perp a$, а в плоскости
$\beta$ через точку пересечения $p$ и $a$ проведём прямую $q \perp a$. Плоскость $\gamma$,
проходящая через $p$ и $q$, — искомая, ведь $a$ перпендикулярна двум её пересекающимся прямым.
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом
только одна.
1
Существование. Проведём в плоскости $\alpha$ произвольную прямую $a$ и
рассмотрим плоскость $\beta$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную к $a$. Пусть $b$ —
прямая пересечения $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\beta$ через $M$ проведём прямую $c \perp b$.
Прямая $c$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости $\alpha$ ($c \perp b$ по
построению и $c \perp a$, так как $\beta \perp a$) — значит, по признаку $c \perp \alpha$.
2
Единственность. Допустим, через $M$ проходит ещё одна прямая $c_1 \perp
\alpha$. По обратной теореме (Теорема 2) $c_1 \parallel c$, что невозможно — ведь прямые
$c_1$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Значит, перпендикуляр к плоскости через данную точку
единственный.
⚠️ Частая ошибка: Думают, что для перпендикулярности прямой к плоскости достаточно
перпендикулярности к одной прямой этой плоскости. Это неверно: через любую точку плоскости
проходит бесконечно много прямых, и наклонная прямая тоже может быть перпендикулярна к одной из
них, оставаясь наклонной к самой плоскости. Нужны именно два пересекающихся направления
— тогда перпендикулярность распространяется на всю плоскость.
🧠 Запомни: Чтобы доказать $a \perp \alpha$, достаточно найти в плоскости $\alpha$
две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна $a$ — дальше перпендикулярность ко
всем прямым плоскости следует автоматически (признак). Через любую точку
пространства к данной плоскости проходит ровно один перпендикуляр.