Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

Расстояние от точки до плоскости

Пусть точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$. Проведём через $A$ прямую, перпендикулярную к $\alpha$, и обозначим буквой $H$ точку её пересечения с плоскостью.

Определение. Отрезок $AH$ называется перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к плоскости $\alpha$, а точка $H$ — основанием перпендикуляра. Если отметить в плоскости $\alpha$ любую другую точку $M$, то отрезок $AM$ называется наклонной, проведённой из $A$ к плоскости, точка $M$ — основанием наклонной, а отрезок $HM$ — проекцией наклонной на плоскость $\alpha$.

Треугольник $AHM$ — прямоугольный: угол при вершине $H$ равен $90°$, так как $AH \perp \alpha$, а значит $AH$ перпендикулярен и прямой $HM$, лежащей в $\alpha$. В этом треугольнике $AH$ — катет, а $AM$ — гипотенуза, поэтому всегда

$$AH < AM$$

Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости. Поэтому наименьшим из всех расстояний от точки $A$ до точек плоскости $\alpha$ является расстояние до точки $H$. Это расстояние и называют расстоянием от точки до плоскости.

💡 Из жизни: Когда говорят, что лампочка уличного фонаря висит на высоте 6 метров,
имеют в виду расстояние по перпендикуляру от лампочки до земли — а не длину какого-нибудь троса,
который тянется к столбу наискосок (это как раз была бы наклонная, и она всегда длиннее).

Потяни зелёную точку $M$ в интерактиве справа — перпендикуляр $AH$ не меняется, а наклонная $AM$ и её проекция $HM$ становятся то длиннее, то короче, но $AH$ остаётся меньше $AM$ всегда.

🧠 Запомни: $AH^2 + HM^2 = AM^2$ (теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике $AHM$) — отсюда сразу видно, что $AM = AH$ только тогда, когда $HM=0$, то есть когда наклонная на самом деле превращается в сам перпендикуляр.

Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Пусть $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $AM$ — наклонная, а прямая $a$ проведена в плоскости $\alpha$ через точку $M$ перпендикулярно к проекции $HM$. Докажем, что $a \perp AM$.

Обратная теорема

Верно и обратное: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к самой наклонной, перпендикулярна и к её проекции. Доказательство почти дословно повторяет прямую теорему: прямая $a$ перпендикулярна плоскости $AMH$, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ($a \perp AM$ по условию и $a \perp AH$, так как $AH \perp \alpha$) — а значит, $a$ перпендикулярна и прямой $HM$, лежащей в этой плоскости.

Потяни оранжевую точку в интерактиве — она поворачивает прямую $a$ вокруг точки $M$. Смотри, как обе величины — угол с проекцией $HM$ и угол с наклонной $AM$ — становятся $90°$ одновременно, ни раньше, ни позже.

⚠️ Частая ошибка: Проверяют перпендикулярность прямой $a$ не к той линии. Чтобы теорема сработала, прямая $a$ должна быть перпендикулярна именно к проекции наклонной $HM$, а не к перпендикуляру $AH$ и не к произвольной прямой в плоскости. Перепутав проекцию с чем-то другим, получают неверный вывод о перпендикулярности к $AM$.

Угол между прямой и плоскостью

Проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости (или саму точку, если она уже лежит в плоскости). Проекцией прямой, не перпендикулярной плоскости, — тоже прямая: это множество проекций всех её точек.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, которая пересекает эту прямую и не перпендикулярна ей, называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Для наклонной $AM$ с основанием $H$ перпендикуляра и основанием $M$ самой наклонной угол между $AM$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\varphi_0 = \angle AMH$ между наклонной и её проекцией $HM$.

💡 Из жизни: Угол наклона пандуса или трапа к горизонтальному полу — это как раз
угол между наклонной линией трапа и плоскостью пола, то есть угол между трапом и его тенью
(проекцией) на полу.

Угол $\varphi_0$ — наименьший из всех

Угол $\varphi_0$ между наклонной $AM$ и её проекцией $HM$ является наименьшим из всех углов $\varphi$, которые прямая $AM$ образует с прямыми плоскости $\alpha$, проведёнными через точку $M$.

Покрути жёлтую точку в интерактиве — она задаёт произвольную прямую $p$ через $M$. Угол $\varphi$ между $AM$ и $p$ всегда не меньше $\varphi_0$, и становится равным $\varphi_0$ ровно тогда, когда $p$ совпадает с проекцией $HM$.

🧠 Запомни: Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними считается равным $90°$ (проекция вырождается в точку). Если прямая параллельна плоскости, угол между ними не определяют (иногда условно считают его равным $0°$). Во всех остальных случаях угол между прямой и плоскостью — это угол именно с проекцией, и он всегда наименьший из всех возможных.