Обычный угол на плоскости образован двумя лучами, выходящими из одной точки. В пространстве
появляется новая фигура — двугранный угол. Любая прямая $a$, проведённая в
плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Представь, что мы согнули плоскость по
прямой $a$ так, что обе полуплоскости перестали лежать в одной плоскости — получившаяся фигура
и есть двугранный угол.
Определение.Двугранным углом называется фигура, образованная
прямой $a$ и двумя
полуплоскостями с общей границей $a$, не
принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости называются гранями двугранного
угла, а прямая $a$ — их общая граница — ребром.
💡 Из жизни: Двускатная крыша дома, полураскрытая книга или папка, стена комнаты
вместе с полом — всё это предметы, имеющие форму двугранного угла. Линия сгиба (корешок книги,
линия стены и пола) — это ребро.
Линейный угол
Обычные углы измеряются в градусах — а как измерить двугранный угол? Отметим на ребре
какую-нибудь точку $O$ и в каждой грани проведём из неё луч, перпендикулярный ребру. Угол
между этими лучами и называют линейным углом двугранного угла.
Если из точки $O$ на ребре провести в каждой
грани луч перпендикулярно ребру — луч $OA$ в
одной грани и луч $OB$ в другой — то угол
$\angle AOB$ называется линейным
углом двугранного угла.
Теорема. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
1
Возьмём на ребре $a$ точку $O$ и любую другую точку $O_1$, и в каждой из них построим
свой линейный угол: $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_1$.
2
Лучи $OA$ и $O_1A_1$ лежат в одной и той же грани и оба перпендикулярны прямой $OO_1$
(то есть ребру $a$) — значит, они сонаправлены.
3
Точно так же сонаправлены лучи $OB$ и $O_1B_1$ — они лежат во второй грани и оба
перпендикулярны ребру $a$.
4
Угол между лучами не меняется, если каждый луч заменить на сонаправленный, поэтому
$\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$. Значит, все линейные углы двугранного угла равны. Теорема
доказана.
Потяни зелёную точку $O$ вдоль ребра $a$ в
интерактиве справа — оба луча $OA$, $OB$ едут вместе с ней, а угол $\angle AOB$ не меняется ни
на градус.
⚠️ Частая ошибка: Берут в гранях любые два луча из точки $O$, а не
обязательно перпендикулярные ребру. Только пара лучей, каждый из которых перпендикулярен ребру,
даёт настоящий линейный угол — угол между произвольными лучами в общем случае будет другим и не
равен градусной мере двугранного угла.
🧠 Запомни: Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его
линейного угла — и неважно, какую точку ребра для этого выбрать, ответ всегда один и тот же.
Двугранный угол называют прямым, острым или тупым, если его линейный угол равен $90°$, меньше
$90°$ или больше $90°$ соответственно.
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром. Если один из
них равен $\varphi$, то остальные три равны $180° - \varphi$, $\varphi$ и $180° - \varphi$. Тем
самым, углом между пересекающимися плоскостями называют наименьший из этих четырёх углов —
он всегда удовлетворяет $0° < \varphi \le 90°$.
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90°$.
💡 Из жизни: Плоскость стены и плоскость пола комнаты — классический пример
взаимно перпендикулярных плоскостей: все четыре двугранных угла между ними прямые.
Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей
проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Пусть плоскость $\alpha$ проходит через
прямую $AB$, перпендикулярную плоскости
$\beta$ и пересекающую её в точке $A$.
Докажем, что $\alpha \perp \beta$.
1
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой
$AC$.
2
Так как $AB \perp \beta$, прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой плоскости
$\beta$ — в частности, $AB \perp AC$.
3
Проведём в плоскости $\beta$ прямую $AD$, перпендикулярную к $AC$. Тогда угол $BAD$ —
линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
4
Но $\angle BAD = 90°$, ведь $AB \perp \beta$ означает, что $AB$ перпендикулярен и прямой
$AD$. Значит, угол между $\alpha$ и $\beta$ равен $90°$, то есть $\alpha \perp \beta$. Теорема
доказана.
Покрути в интерактиве справа зелёную точку $C$ — она поворачивает плоскость $\alpha$ вокруг
прямой $AB$. При любом повороте угол $\angle BAD$ остаётся ровно $90°$: ведь
$AB$ перпендикулярен плоскости $\beta$ целиком, а значит и прямой $AD$ в ней — независимо от
того, как расположена сама плоскость $\alpha$.
💡 Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две
данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
⚠️ Частая ошибка: Считают, что для применения признака достаточно найти
какую-нибудь перпендикулярную прямую в одной из плоскостей. На самом деле важно, чтобы
эта прямая была перпендикулярна именно ко всей плоскости $\beta$ (а не просто к
одной линии в ней) — тогда и только тогда любая плоскость, содержащая эту прямую, окажется
перпендикулярна $\beta$.
Прямоугольный параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его
боковые рёбра перпендикулярны основанию, а основания — прямоугольники.
💡 Из жизни: Коробки, ящики, кирпичи, комнаты — типичные предметы формы
прямоугольного параллелепипеда.
Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, оно перпендикулярно и стороне $AB$
основания — значит, боковая грань $AA_1B_1B$ тоже прямоугольник. То же верно для остальных
боковых граней. Отсюда — важное свойство:
В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — прямоугольники, а все его двугранные углы —
прямые.
Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины — например,
$AB$,
$AD$ и
$AA_1$ — называются его
измерениями. В обычной жизни для комнаты такой формы вместо слова «измерения»
говорят «длина», «ширина» и «высота».
Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов
трёх его измерений.
1
Ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$ (по определению прямоугольного
параллелепипеда), поэтому угол $ACC_1$ — прямой.
2
Из прямоугольного треугольника $ACC_1$ по теореме Пифагора:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$.
3
Но $AC$ — диагональ прямоугольника $ABCD$ основания, поэтому
$AC^2 = AB^2 + AD^2$.
4
Кроме того, $CC_1 = AA_1$. Подставляя, получаем
$AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2$ — квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений.
Теорема доказана.
Подвигай ползунки $a$, $b$, $c$ в интерактиве справа — длина диагонали $AC_1$ каждый раз
пересчитывается по формуле, а прямой угол при вершине $C$ (ключ доказательства) всегда виден
на чертеже.
💡 Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Если же все три
измерения равны между собой ($a=b=c$), параллелепипед называется кубом — все
его грани являются равными квадратами.
🧠 Запомни: $d^2 = a^2+b^2+c^2$ — квадрат диагонали прямоугольного
параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (обобщение теоремы Пифагора на
пространство).
Трёхгранный и многогранный угол (дополнительный материал)
Учебник отмечает этот материал звёздочкой — он не входит в обязательный курс, но полезен для
общего понимания пространственных фигур (отдельной визуализации к нему нет).
Три луча $OA$, $OB$, $OC$ с общим началом $O$, не лежащие в одной плоскости, вместе с углами
$\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COA$ и их внутренними областями образуют
трёхгранный угол $OABC$. Сами эти углы называют плоскими углами
трёхгранного угла.
Для трёхгранного угла верно утверждение, похожее на неравенство треугольника: каждый плоский
угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
Обобщение на $n$ рёбер — фигура из углов $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, …, $A_nOA_1$ и их внутренних
областей (смежные углы не лежат в одной плоскости, а несмежные не пересекаются) называется
многогранным углом $OA_1A_2\ldots A_n$. Многогранный угол называется
выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого своего плоского
угла.
🧠 Запомни: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше
$360°$ — например, у вершины куба сходятся три прямых угла, и их сумма $270°$ действительно
меньше $360°$.