Понятие многогранника. Призма

Понятие многогранника

Тетраэдр и параллелепипед, которые мы уже изучали, — это поверхности, «сшитые» из плоских многоугольников: тетраэдр составлен из четырёх треугольников, параллелепипед — из шести параллелограммов. Каждая такая поверхность отделяет часть пространства от остального пространства — то есть ограничивает некоторое геометрическое тело.

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью, или многогранником. Тело, которое эта поверхность ограничивает, часто тоже называют многогранником.

💡 Из жизни: Игральная кость, коробка, гранёный карандаш, кристалл соли или
пирамида Хеопса — всё это многогранники: их поверхность целиком состоит из плоских
многоугольных «граней».

На интерактиве справа — октаэдр, ещё один классический многогранник: поверхность из восьми треугольников. На нём удобно показать все основные элементы многогранника.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

⚠️ Частая ошибка: Диагональю многогранника по ошибке называют диагональ одной из его граней (например, диагональ квадратной грани куба). Это неверно: диагональ грани целиком лежит в плоскости этой грани, а диагональ многогранника обязательно соединяет вершины, между которыми нет общей грани — то есть «прошивает» тело насквозь.

Плоскость, по обе стороны от которой есть точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости — сечением многогранника.

Выпуклые и невыпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники.

Переключи интерактив справа в режим «невыпуклый» — одна вершина октаэдра «вдавится» внутрь, и часть многогранника окажется по разные стороны от плоскости соседних граней. Вернуть обратно можно кнопкой «выпуклый».

🧠 Запомни: Все грани выпуклого многогранника — выпуклые многоугольники, а сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше $360°$ (иначе поверхность не смогла бы «замкнуться» в выпуклое тело).

Геометрическое тело (дополнительный материал, п. 28*)

Точка фигуры называется граничной, если сколь угодно близко от неё есть и точки самой фигуры, и точки вне её; множество всех граничных точек — это граница фигуры (например, граница шара — сфера). Точка, не являющаяся граничной, называется внутренней.

Геометрическим телом называют ограниченную (помещающуюся в какую-нибудь сферу) и связную (любые две точки можно соединить непрерывной линией внутри фигуры) фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причём сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют также его поверхностью.

Многогранник (как поверхность) ограничивает геометрическое тело (многогранник как тело) — именно поэтому оба смысла слова «многогранник» употребляют почти как синонимы.

Теорема Эйлера (п. 29*)

Одно из самых красивых открытий, связанных с многогранниками, принадлежит Леонарду Эйлеру: оказывается, число граней, вершин и рёбер любого выпуклого многогранника всегда связаны одним и тем же простым соотношением — вне зависимости от того, сколько у него граней и какой они формы.

Теорема Эйлера. В любом выпуклом многограннике сумма числа граней $Г$ и числа вершин $В$ больше числа рёбер $Р$ на $2$: $$Г + В - Р = 2.$$

Проверь это на интерактиве справа: переключайся между тетраэдром, кубом и треугольной призмой — счётчики $Г$, $В$, $Р$ каждый раз разные, а вот $Г+В-Р$ неизменно равно $2$.

Идея доказательства (полное доказательство — в учебнике, п. 29*, оно довольно техническое):

🧠 Запомни: Формулу $Г+В-Р=2$ удобно использовать как быструю проверку: посчитал грани, вершины, рёбра многогранника — подставь в формулу, если не сошлось $2$, значит где-то ошибся в подсчёте (или многогранник не выпуклый и без «дырок»).

Призма

Возьмём два равных многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$ и $B_1B_2\ldots B_n$, расположенных в двух параллельных плоскостях так, что отрезки $A_1B_1$, $A_2B_2$, …, $A_nB_n$, соединяющие соответственные вершины, параллельны друг другу. Тогда каждый из четырёхугольников $A_1A_2B_2B_1$, $A_2A_3B_3B_2$, … — параллелограмм (противоположные стороны у него попарно параллельны).

Определение. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников $A_1A_2\ldots A_n$ и $B_1B_2\ldots B_n$, расположенных в параллельных плоскостях, и из $n$ параллелограммов, называется призмой. Многоугольники $A_1A_2\ldots A_n$ и $B_1B_2\ldots B_n$ называются основаниями призмы, а параллелограммы — боковыми гранями. Отрезки $A_1B_1,\ldots,A_nB_n$ называются боковыми рёбрами призмы — как противоположные стороны последовательно приложенных друг к другу параллелограммов, они равны и параллельны.

💡 Из жизни: Гранёный карандаш (шестиугольная призма), кирпич и коробка
(четырёхугольная призма), призма в игрушечном калейдоскопе или в оптике (треугольная призма) —
всё это призмы.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого, называется высотой призмы. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма называется прямой — тогда высота призмы равна её боковому ребру. В противном случае призма называется наклонной. Переключи в интерактиве справа режим «прямая» / «наклонная», чтобы увидеть разницу.

Прямая призма называется правильной, если её основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней, а площадью боковой поверхности — сумма площадей только боковых граней. Если $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь одного основания, то $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}.$$

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P \cdot h$.

⚠️ Частая ошибка: Формулу $S_{бок}=Ph$ применяют и к наклонной призме — это неверно. У наклонной призмы боковые грани — параллелограммы, а не прямоугольники, их высоты не равны высоте призмы $h$, поэтому такая простая формула не работает. Переключи интерактив в «наклонная» — программа сама скроет формулу, потому что она здесь неприменима.

🧠 Запомни: $S_{бок}=Ph$ — только для прямой призмы; $S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}$ — для любой призмы.

Пространственная теорема Пифагора (дополнительный материал, п. 31*)

Мы уже видели одно пространственное обобщение теоремы Пифагора — формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда $d^2=a^2+b^2+c^2$ (§3, предыдущая глава). Есть и другое, менее известное обобщение — уже не про рёбра, а про площади граней тетраэдра.

Теорема. Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра — прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.

То есть для тетраэдра $OABC$ с $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90°$, если $S$ — площадь грани $ABC$, а $S_A,S_B,S_C$ — площади граней, противолежащих вершинам $A,B,C$ соответственно, то $$S_A^2+S_B^2+S_C^2=S^2.$$ Доказывается это через формулу площади проекции многоугольника $S_1=S\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции (полное доказательство — в учебнике, п. 31*).

🧠 Запомни: «Обычная» теорема Пифагора — про квадраты длин сторон прямоугольного треугольника; пространственная теорема Пифагора для тетраэдра — про квадраты площадей граней, а формула диагонали параллелепипеда — снова про квадраты длин рёбер. Все три — родственные, но разные утверждения, не путай их.