Пирамида

Возьмём произвольный многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ и точку $P$, не лежащую в его плоскости. Соединим точку $P$ отрезками со всеми вершинами многоугольника — получится $n$ треугольников $PA_1A_2,\ PA_2A_3,\ \ldots,\ PA_nA_1$.

Определение. Многогранник, составленный из $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ и $n$ треугольников $PA_1A_2,\ldots,PA_nA_1$, называется пирамидой. Многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка $P$ называется вершиной пирамиды, а отрезки $PA_1,\ldots,PA_n$ — её боковыми рёбрами. Пирамиду с основанием $A_1A_2\ldots A_n$ и вершиной $P$ обозначают $PA_1A_2\ldots A_n$ и называют $n$-угольной пирамидой.

💡 Из жизни: Пирамида Хеопса (четырёхугольная), палатка-типи или крыша башни
(многоугольная), треугольная пирамида-тетраэдр — самая простая из всех пирамид.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Обрати внимание: вершина пирамиды не обязана «висеть» над центром основания — высота всё равно опускается перпендикулярно на плоскость основания, просто её основание $H$ может оказаться где угодно внутри или даже снаружи многоугольника.

Переключи интерактив справа на вкладку «Пирамида» и подвигай ползунок сдвига вершины — увидишь, как основание высоты $H$ «ползёт» по плоскости, а сама высота остаётся перпендикулярной.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности — сумма площадей только боковых граней: $$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}.$$

🧠 Запомни: треугольная пирамида — это тетраэдр (у тетраэдра любая грань может считаться основанием); а вот у пирамиды с $n>3$ основание — выделенная грань, и менять её на другую уже нельзя, не изменив саму пирамиду.

Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания (центром вписанной в него окружности), является её высотой.

Теорема. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой. Раз все боковые грани равны, все апофемы правильной пирамиды тоже равны друг другу.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: $$S_{бок} = \frac{1}{2}\,P_{осн}\cdot d.$$

На интерактиве справа (вкладка «Правильная пирамида») меняй число сторон основания и высоту — все значения $R$, $d$, $P_{осн}$ и $S_{бок}$ пересчитываются вживую по только что доказанной формуле.

⚠️ Частая ошибка: апофему путают с высотой боковой грани, проведённой из другой вершины, или с боковым ребром. Апофема — это высота боковой грани именно из вершины пирамиды $P$ к середине противоположной стороны основания; она короче бокового ребра (апофема — катет, ребро — гипотенуза прямоугольного треугольника с общим катетом $h$).

🧠 Запомни: в прямоугольном треугольнике $OPE$ (где $E$ — середина стороны основания) $OP=h$ — высота пирамиды, $OE=r$ — апофема (радиус вписанной окружности) основания, а $PE=d$ — апофема пирамиды: $d=\sqrt{h^2+r^2}$.

Усечённая пирамида

Возьмём произвольную пирамиду $PA_1A_2\ldots A_n$ и проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости основания $\alpha$ и пересекающую боковые рёбра в точках $B_1,B_2,\ldots,B_n$. Плоскость $\beta$ разбивает пирамиду на два многогранника.

Определение. Многогранник, гранями которого являются $n$-угольники $A_1A_2\ldots A_n$ и $B_1B_2\ldots B_n$ (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и $n$ четырёхугольников $A_1A_2B_2B_1,\ldots,A_nA_1B_1B_n$ (боковые грани), называется усечённой пирамидой. Отрезки $A_1B_1,\ldots,A_nB_n$ называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

💡 Из жизни: ведро, кадка, абажур лампы, основание Вавилонской башни на старинных
рисунках — типичные усечённые пирамиды (точнее, усечённые конусы или пирамиды).

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого, называется высотой усечённой пирамиды.

Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции. Стороны $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны (они лежат на прямых пересечения плоскости $PA_1A_2$ с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$). А вот стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не параллельны — их продолжения пересекаются в точке $P$, поэтому грань $A_1A_2B_2B_1$ — трапеция.

💡 Переключи интерактив на вкладку «Усечённая пирамида» и включи
«показать вершину» — пунктиром достроятся
продолжения всех боковых рёбер, и ты увидишь, что они действительно сходятся ровно в одной точке
$P$, как и должно быть у любой усечённой пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Тогда оба основания — правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций тоже называются апофемами.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему: $$S_{бок} = \frac{P_1+P_2}{2}\cdot d.$$

Доказывается это так же, как для обычной правильной пирамиды: каждая боковая грань — равнобедренная трапеция с основаниями (стороны нижнего и верхнего оснований) и высотой $d$; площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, а сумма по всем $n$ граням даёт полусумму периметров $P_1$ и $P_2$, умноженную на $d$ (докажи самостоятельно, п. 34 учебника).

🧠 Запомни: усечённая пирамида — это «остаток» полной пирамиды после отсечения верхушки плоскостью, параллельной основанию; боковые рёбра усечённой пирамиды при продолжении всегда пересекаются ровно в одной точке — вершине исходной (неусечённой) пирамиды.