В планиметрии рассматривали фигуры, симметричные относительно точки и относительно прямой. В
стереометрии симметрию рассматривают ещё и относительно плоскости.
Определение. Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно
точки $O$ (центр симметрии), если $O$ — середина отрезка $AA_1$. Точка $O$ считается
симметричной самой себе.
Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$ (ось
симметрии), если прямая $a$ проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна к этому
отрезку. Каждая точка прямой $a$ считается симметричной самой себе.
Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно плоскости $\alpha$
(плоскость симметрии), если плоскость $\alpha$ проходит через середину отрезка $AA_1$ и
перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости $\alpha$ считается симметричной самой
себе.
Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры,
если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры. Если фигура
имеет центр (ось, плоскость) симметрии, говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной)
симметрией.
💡 Из жизни: точка $O$ — центр
симметрии куба — точка пересечения его диагоналей. Многие здания симметричны относительно
плоскости (например, главное здание МГУ), а почти все кристаллы, встречающиеся в природе —
поваренная соль, пирит — имеют центр, ось или плоскость симметрии.
🧠 Запомни: фигура может иметь несколько центров/осей/плоскостей симметрии
(например, у прямой или плоскости их бесконечно много), а может не иметь вовсе — призма и
пирамида в общем случае не имеют ни центра, ни оси, ни плоскости симметрии (только в частных
случаях).
Понятие правильного многогранника
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если
все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же
число рёбер.
Пример правильного многогранника — куб: все его
грани — равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра. Все рёбра правильного
многогранника равны друг другу, и можно доказать, что равны также все двугранные углы, содержащие
две грани с общим ребром.
Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются
правильные шестиугольники, семиугольники и вообще $n$-угольники при $n \ge 6$.
1
Угол правильного $n$-угольника при $n \ge 6$ не меньше $120°$.
2
При каждой вершине многогранника должно сходиться не менее трёх плоских углов. Поэтому
если бы существовал правильный многогранник с гранями — правильными $n$-угольниками при
$n \ge 6$, сумма плоских углов при каждой его вершине была бы не меньше
$120° \cdot 3 = 360°$.
3
Но сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника
всегда меньше $360°$. Противоречие — значит, такого правильного многогранника не существует.
По той же причине каждая вершина правильного многогранника может быть
вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо трёх квадратов, либо трёх
правильных пятиугольников — других возможностей нет. Отсюда получаются ровно пять видов правильных
многогранников:
Правильный тетраэдр — 4 равносторонних
треугольника, в каждой вершине сходятся 3 грани, сумма плоских углов при вершине $= 180°$.
Правильный октаэдр — 8 равносторонних
треугольников, в каждой вершине сходятся 4 грани, сумма углов $= 240°$.
Правильный икосаэдр — 20 равносторонних
треугольников, в каждой вершине сходятся 5 граней, сумма углов $= 300°$.
Куб — 6 квадратов, в каждой вершине сходятся
3 грани, сумма углов $= 270°$.
Правильный додекаэдр — 12 правильных
пятиугольников, в каждой вершине сходятся 3 грани, сумма углов $= 324°$.
⚠️ Частая ошибка: путают правильный тетраэдр и
правильную треугольную пирамиду. У правильного тетраэдра равны все
рёбра (это частный случай правильной пирамиды). А у правильной треугольной пирамиды равны только
боковые рёбра — они вполне могут быть не равны рёбрам основания. Не всякая правильная треугольная
пирамида — правильный тетраэдр!
Число граней, рёбер и вершин (теорема Эйлера)
Если $n$ — число сторон каждой грани, а $m$ — число рёбер, сходящихся
в каждой вершине, то из $nf=2k$ (каждое ребро принадлежит двум граням), $me=2k$ (каждое ребро
содержит две вершины) и теоремы Эйлера $f+e-k=2$ можно найти число граней $f$, рёбер $k$ и вершин
$e$ каждого многогранника:
Многогранник
$n$
$m$
Г (грани, $f$)
Р (рёбра, $k$)
В (вершины, $e$)
Тетраэдр
3
3
4
6
4
Октаэдр
3
4
8
12
6
Икосаэдр
3
5
20
30
12
Куб
4
3
6
12
8
Додекаэдр
5
3
12
30
20
Мы доказали, что правильных многогранников не может быть больше пяти —
но не то, что каждый из них действительно существует. Существование тетраэдра и куба очевидно.
Центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра — значит, октаэдр тоже существует.
Центры граней икосаэдра, в свою очередь, являются вершинами правильного додекаэдра. Убедиться в
существовании всех пяти можно, склеив их из развёрток.
Элементы симметрии правильных многогранников
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
Прямая, проходящая через середины двух противоположных рёбер — его ось симметрии, а плоскость,
проходящая через ребро перпендикулярно противоположному ребру — плоскость симметрии. У
правильного тетраэдра 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Куб имеет один центр симметрии — точку
пересечения его диагоналей. Прямые, проходящие через центры противоположных граней, и прямые,
проходящие через середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани — оси
симметрии куба (их девять). Плоскость, проходящая через любые две оси симметрии — плоскость
симметрии куба (их тоже девять). Все оси симметрии куба проходят через его центр симметрии.
Правильный октаэдр,
правильный икосаэдр и
правильный додекаэдр тоже имеют центр симметрии и
несколько осей и плоскостей симметрии (попробуй подсчитать их число, покрутив фигуры справа).
🧠 Запомни: ровно 5 правильных многогранников — тетраэдр, куб, октаэдр,
додекаэдр, икосаэдр — потому что сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника всегда
меньше $360°$, а больше многоугольников с таким ограничением не собрать. У всех правильных
многогранников, кроме тетраэдра, есть центр симметрии.