Цилиндр — Стереометрия 10-11

Понятие цилиндра

Возьмём произвольную плоскость $\alpha$ и окружность $L$ с центром $O$ радиуса $r$, лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности $L$ проведём прямую, перпендикулярную к плоскости $\alpha$. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые — образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку $O$ перпендикулярно к плоскости $\alpha$, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу.

Рассмотрим плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$. Отрезки образующих, заключённые между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, параллельны и равны друг другу. Концы этих отрезков в плоскости $\alpha$ заполняют окружность $L$, а концы в плоскости $\beta$ — окружность $L_1$ с центром $O_1$ — точкой пересечения $\beta$ с осью.

Почему $L_1$ — тоже окружность радиуса $r$?

Определение. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $L$ и $L_1$, называется цилиндром. Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих между основаниями — образующими цилиндра, а часть цилиндрической поверхности, ими образованная, — боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра ($h$), а радиус основания — радиусом цилиндра ($r$). Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон: боковая поверхность образуется вращением противоположной стороны, а основания — вращением двух других сторон.

💡 Из жизни: консервная банка, канализационная труба, металлический бак, ствол
дерева — почти всегда прямой круговой цилиндр (образующие перпендикулярны основаниям). В природе и
технике встречаются и наклонные цилиндры, у которых образующие не перпендикулярны
основаниям, но в этом курсе мы работаем только с прямыми круговыми цилиндрами.

🧠 Запомни: у цилиндра два равных параллельных круговых основания, ось всегда перпендикулярна основаниям, а все образующие равны высоте $h$ и параллельны оси.

Сечения цилиндра

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, сечение является кругом: такая плоскость отсекает от цилиндра тело, тоже являющееся цилиндром, и одно из его оснований — как раз рассматриваемое сечение.

💡 Пример (задача 320). Радиус цилиндра $r = 1{,}5$ м, высота $h = 4$ м. Диагональ
осевого сечения — диагональ прямоугольника со сторонами $2r$ и $h$:
$$d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}.$$

Площадь поверхности цилиндра

Представим, что боковую поверхность цилиндра разрезали по образующей $AB$ и развернули в плоскости. Получится прямоугольник $ABB'A'$: стороны $AB$ и $A'B'$ — края разреза (равны образующей, $AB = h$), а сторона $AA'$ — развёртка окружности основания, $AA' = 2\pi r$. Такой прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Определение. Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Так как площадь каждого основания равна $\pi r^2$, то $$S_{цил} = S_{бок} + 2\pi r^2 = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(r + h).$$

⚠️ Частая ошибка: считая полную поверхность, забывают, что оснований у цилиндра два, а не одно — прибавляют $\pi r^2$ вместо $2\pi r^2$. Проверяй себя: полная поверхность = боковая + два круга.

🧠 Запомни: $$S_{бок} = 2\pi r h, \qquad S_{цил} = 2\pi r(r+h).$$