Определение.Сферой называется поверхность,
состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка
называется центром сферы ($O$), а данное расстояние —
радиусом сферы ($R$).
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок,
соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Диаметр сферы равен $2R$. Сфера может быть получена
вращением полуокружности вокруг её диаметра.
Определение. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и
диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса $R$ с центром $O$ содержит
все точки пространства, которые расположены от точки $O$ на расстоянии, не превышающем $R$ (включая точку
$O$), и не содержит других точек.
💡 Из жизни: мяч, глобус, мыльный пузырь, планета — всё это по форме близко к шару, а их
поверхность — к сфере. Кожура мяча — сфера, а весь мяч целиком (с воздухом внутри) — шар.
🧠 Запомни: сфера — это только поверхность (оболочка), шар — тело целиком (сфера и всё, что
внутри неё). Диаметр $D = 2R$.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Пусть $R$ — радиус сферы с центром $O$, а $d$ — расстояние от центра до плоскости $\alpha$. Проведём
перпендикуляр $OA$ к плоскости $\alpha$, тогда $OA = d$. Возможны три случая.
Соотношение
Расположение
Результат
$d < R$
пересекаются
окружность радиуса $r=\sqrt{R^2-d^2}$
$d = R$
касаются
одна общая точка
$d > R$
не пересекаются
общих точек нет
Если плоскость проходит через центр сферы ($d=0$), то в сечении шара получится круг радиуса $R$, равный
радиусу самого шара. Такой круг называется большим кругом шара.
1
Пусть точка $M$ лежит одновременно на сфере и в плоскости $\alpha$. Так как $OM=R$, $OA=d$ и
$OA\perp AM$ (ведь $OA\perp\alpha$), по теореме Пифагора $AM^2 = OM^2 - OA^2 = R^2 - d^2$.
2
Значит, любая общая точка сферы и плоскости лежит на окружности с центром $A$ и радиусом
$r=\sqrt{R^2-d^2}$, расположенной в плоскости $\alpha$. Верно и обратное: если $AM=r$, то по теореме
Пифагора $OM^2 = AM^2+OA^2 = r^2+d^2 = R^2$, то есть точка $M$ лежит на сфере.
3
Итак, если $d < R$, сечение сферы плоскостью — окружность радиуса $r=\sqrt{R^2-d^2}$. Сечение шара
плоскостью при этом — круг того же радиуса.
⚠️ Частая ошибка: радиус сечения $r=\sqrt{R^2-d^2}$ путают с радиусом самой сферы $R$.
Сечение всегда меньше сферы, кроме случая $d=0$ — тогда $r=R$ и получается большой круг шара.
🧠 Запомни: $r=\sqrt{R^2-d^2}$ при $d < R$; при $d=0$ — самый большой возможный круг сечения
(большой круг шара).
Касательная плоскость к сфере
Определение. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку (случай $d=R$),
называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка —
точкой касания.
Теорема (прямая)
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
1
Пусть плоскость $\alpha$ касается сферы с центром $O$ в точке $A$. Предположим противное: радиус
$OA$ не перпендикулярен $\alpha$, то есть $OA$ — наклонная к плоскости.
2
Тогда расстояние от центра $O$ до плоскости $\alpha$ меньше $OA=R$, то есть $d < R$. Но при $d < R$
сфера и плоскость пересекаются по окружности, а не по одной точке — это противоречит тому, что $\alpha$
касательная. Значит, $OA\perp\alpha$. Теорема доказана.
Теорема (обратная)
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта
плоскость является касательной к сфере.
1
Пусть радиус $OA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, проходящей через точку $A$ сферы. Тогда $OA$
— перпендикуляр из центра $O$ к плоскости $\alpha$, а значит расстояние от $O$ до $\alpha$ равно
$OA=R$, то есть $d=R$.
2
По доказанному выше, при $d=R$ сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку. Значит, $\alpha$ —
касательная плоскость к сфере. Теорема доказана.
💡 Из жизни: мяч, лежащий на полу, касается его ровно в одной точке, и радиус, проведённый
в эту точку, всегда вертикален — то есть перпендикулярен полу (касательной плоскости).
🧠 Запомни: $OA\perp\alpha \Leftrightarrow \alpha$ касательная к сфере в точке $A$ — теорема
работает в обе стороны.
Площадь сферы
В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса, сферу нельзя развернуть на плоскость — поэтому
способ вычисления площади через развёртку для неё непригоден. Площадь сферы определяют через понятие
описанного многогранника.
Определение. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если
сфера касается всех его граней (при этом сфера называется вписанной в многогранник).
Рассмотрим последовательность описанных около данной сферы многогранников, у которых число граней
неограниченно растёт, а наибольший размер каждой грани стремится к нулю. За площадь сферы принимается
предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников. Этот предел существует, и для сферы
радиуса $R$ получается формула:
$$S = 4\pi R^2.$$
🧠 Запомни: $S=4\pi R^2$ — площадь сферы радиуса $R$ в 4 раза больше площади её большого
круга ($S_{круга}=\pi R^2$).