Понятие объёма тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно,
что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей —
обычно квадрата со стороной, равной единице измерения отрезков.
Определение. Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых тел имеет
объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы
измерения объёмов. За единицу измерения объёмов принимают куб, ребро которого равно единице
измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают $см^3$. Аналогично
определяются $м^3$, $мм^3$ и т.д.
При выбранной единице измерения объём каждого тела выражается положительным числом, которое показывает,
сколько единиц измерения объёмов и частей единицы содержится в данном теле. Число, выражающее объём, зависит
от выбора единицы измерения, поэтому единица указывается после числа: например, $V = 2\ см^3$.
🧠 Основные свойства объёмов:
1° Равные тела имеют равные объёмы.
2° Если тело составлено из нескольких тел без общих внутренних точек, то его объём равен сумме их объёмов.
Следствие. Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объёмов. Разобьём каждое его
ребро на $n$ равных частей и проведём через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб
разобьётся на $n^3$ равных маленьких кубов с ребром
$\frac{1}{n}$. Так как сумма их объёмов равна объёму всего куба (свойство 2°), т.е. равна 1, а сами маленькие
кубы равны между собой (свойство 1°), то объём каждого маленького куба равен $\frac{1}{n^3}$.
💡 Из жизни: объём — это то, сколько «кубиков-мерок» помещается внутри тела. Например, чтобы
узнать объём коробки, можно мысленно заполнить её маленькими кубиками со стороной 1 см и посчитать их
количество — это и будет объём в кубических сантиметрах.
Теорема об объёме прямоугольного параллелепипеда
Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:
$$V = abc,$$
где $a$, $b$, $c$ — длины рёбер, выходящих из одной вершины (измерения параллелепипеда).
Идея доказательства — разбить параллелепипед на маленькие равные кубики (как куб-единицу выше) и посчитать
их число.
1
Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда $P$ буквами $a$, $b$, $c$, а его объём — буквой
$V$. Докажем, что $V = abc$.
2
Случай 1: пусть $a$, $b$, $c$ — конечные десятичные дроби с не более чем $n$ знаками после запятой.
Тогда числа $a\cdot10^n$, $b\cdot10^n$, $c\cdot10^n$ целые. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные
части длины $\frac{1}{10^n}$ и проведём плоскости, перпендикулярные рёбрам.
3
Параллелепипед $P$ разобьётся на $abc\cdot10^{3n}$ равных маленьких кубов с ребром $\frac{1}{10^n}$.
Объём каждого такого куба равен $\frac{1}{10^{3n}}$ (доказано выше), значит объём всего параллелепипеда
равен $abc\cdot10^{3n}\cdot\frac{1}{10^{3n}} = abc$. Итак, $V=abc$.
4
Случай 2: если хотя бы одно из чисел $a$, $b$, $c$ — бесконечная десятичная дробь, берём округления
$a_n \le a \le a'_n$ (и аналогично для $b$, $c$) с точностью до $n$-го знака. По уже доказанному первому
случаю объёмы «внутреннего» и «внешнего» параллелепипедов равны $a_nb_nc_n$ и $a'_nb'_nc'_n$, и
$a_nb_nc_n \le V \le a'_nb'_nc'_n$.
5
При неограниченном увеличении $n$ разность $a'_nb'_nc'_n - a_nb_nc_n$ становится сколь угодно малой.
Значит, число $V$ сколь угодно мало отличается от числа $abc$, то есть $V = abc$, что и требовалось
доказать.
Следствия
Следствие 1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади
основания на высоту:
$$V = Sh.$$
Действительно, примем грань с рёбрами $a$ и $b$ за основание. Тогда площадь основания $S = ab$, а высота
параллелепипеда $h = c$. Следовательно, $V = abc = Sh$.
Следствие 2. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник,
равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{ABC}\cdot h$.
Дополним прямую треугольную призму с прямоугольным основанием $ABC$ ($\angle A = 90°$) до прямоугольного
параллелепипеда. По следствию 1 объём этого параллелепипеда равен $2S_{ABC}\cdot h$. Диагональная плоскость
$B_1BC$ разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы (равные основания и равные высоты), одна из
которых — данная. Значит, объём данной призмы равен половине объёма параллелепипеда: $V = S_{ABC}\cdot h$.
⚠️ Частая ошибка: путают формулу объёма $V=abc$ с формулой площади поверхности. Площадь
поверхности параллелепипеда — это сумма площадей всех 6 граней ($2(ab+bc+ac)$), а объём — произведение трёх
измерений $abc$. Единицы тоже разные: площадь в квадратных единицах, объём — в кубических.
🧠 Запомни: $V=abc$ для прямоугольного параллелепипеда, или короче $V=Sh$ — площадь основания
умножить на высоту. Для куба со стороной $a$: $V = a^3$.