Рассмотрим окружность $L$ с центром $O$ и прямую $OP$, перпендикулярную к плоскости $\alpha$ этой
окружности. Через точку $P$ и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная
этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые — образующими конической поверхности. Точка $P$ называется
вершиной, а прямая $OP$ — осью конической поверхности.
Определение. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей $L$,
называется конусом. Круг называется основанием
конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые
между вершиной и основанием, — образующими конуса,
а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось
конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между
вершиной и основанием, — высотой конуса.
Все образующие конуса равны друг другу — ведь каждая соединяет вершину $P$ с точкой окружности $L$,
а расстояние от $P$ до любой точки $L$ одинаково (по теореме Пифагора: $l=\sqrt{h^2+r^2}$, где $h$ —
высота, $r$ — радиус основания).
Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его
катетов. Если вращать треугольник $ABC$ вокруг катета $AB$, боковая поверхность конуса образуется
вращением гипотенузы $AC$, а основание — вращением катета $BC$.
💡 Из жизни: дорожный конус, воронка, наконечник карандаша, шапка Деда Мороза,
абажур торшера — всё это по форме близко к прямому круговому конусу. В мороженом-рожке коническая
форма используется буквально.
🧠 Запомни: у конуса одно круговое основание, одна вершина, ось перпендикулярна
основанию, а образующая, высота и радиус связаны теоремой Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.
Сечения конуса
Если секущая плоскость проходит через ось конуса,
сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр
основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Такое сечение называется
осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси $OP$
конуса, сечение конуса представляет собой круг с центром $O_1$, расположенным на оси конуса.
Радиус $r_1$ этого круга равен $r_1 = r\cdot\dfrac{PO_1}{PO}$, где $r$ — радиус основания конуса, что
следует из подобия прямоугольных треугольников $PO_1M_1$ и $POM$.
1
Возьмём произвольную точку $M_1$ сечения — она лежит в плоскости $\alpha$ на окружности
радиуса $r_1$ с центром $O_1$. Обозначим точкой $M$ пересечение луча $PM_1$ с плоскостью
основания конуса.
2
Треугольники $PO_1M_1$ и $POM$ подобны — у них общий острый угол $P$ (оба прямоугольные, так
как $O_1M_1$ и $OM$ лежат в плоскостях, перпендикулярных оси).
3
Из подобия: $OM = O_1M_1 \cdot \dfrac{PO}{PO_1}$. Если $O_1M_1 = r_1$, то $OM = r$ — значит
точка $M$ лежит на окружности основания, то есть $PM$ — образующая конуса, а $M_1$ действительно
точка боковой поверхности.
4
Обратное рассуждение (для любой точки боковой поверхности в сечении) даёт то же соотношение
$O_1M_1 = r\cdot\dfrac{PO_1}{PO}$. Значит сечение — окружность радиуса $r_1 = r\cdot\dfrac{PO_1}{PO}$
с центром $O_1$, а вместе с кругом внутри неё — сечение конуса плоскостью $\alpha$.
Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость,
разрезав её по одной из образующих. Развёрткой боковой
поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей $l$ конуса, а
длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $2\pi r$.
1
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки — кругового сектора
радиуса $l$ с дугой $\alpha$ (в градусах): $S_{бок} = \dfrac{\pi \alpha l^2}{360}$.
2
Длина дуги сектора равна длине окружности основания: $2\pi r = \dfrac{\pi\alpha l}{180}$,
откуда $\alpha = \dfrac{360 r}{l}$.
3
Подставим $\alpha$ в формулу площади сектора: $S_{бок} = \dfrac{\pi l^2}{360}\cdot
\dfrac{360r}{l} = \pi r l$.
4
Итак, $S_{бок} = \pi r l$ — площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа
$\pi$, радиуса основания и образующей.
Определение.Площадью полной поверхности конуса называется сумма
площадей боковой поверхности и основания:
$$S_{кон} = S_{бок} + \pi r^2 = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r).$$
⚠️ Частая ошибка: в формулу боковой поверхности конуса $S_{бок}=\pi r l$ подставляют
высоту $h$ вместо образующей $l$. Образующая — это наклонный отрезок от вершины до окружности
основания, $l=\sqrt{h^2+r^2}$, она всегда больше высоты.
🧠 Запомни:
$$l^2 = h^2 + r^2, \qquad S_{бок} = \pi r l, \qquad S_{кон} = \pi r (l+r).$$
Усечённый конус
Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Плоскость
пересекает конус по кругу и разбивает его на две части: одна из них — снова конус (меньший, у
вершины), а другая называется усечённым конусом.
Определение. Основание исходного конуса и круг сечения называются
основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, —
высотой усечённого конуса. Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый
конус, — его боковая поверхность, а отрезки образующих между основаниями —
образующие усечённого конуса. Все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Усечённый конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой
стороны, перпендикулярной к основаниям: боковая поверхность образуется вращением наклонной боковой
стороны трапеции, а основания усечённого конуса — вращением параллельных сторон трапеции.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин
окружностей оснований на образующую:
$$S_{бок} = \pi (r + r_1) l,$$
где $r$ и $r_1$ — радиусы оснований, $l$ — образующая усечённого конуса.
1
Пусть $P$ — вершина исходного конуса, $AA_1$ — одна из образующих усечённого конуса ($A$ на
большем основании радиуса $r$, $A_1$ — на меньшем радиуса $r_1 < r$). По формуле боковой
поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r\cdot PA - \pi r_1\cdot PA_1$.
2
Так как $PA = PA_1 + AA_1 = PA_1 + l$, подставляем: $S_{бок} = \pi r(PA_1+l) - \pi r_1\cdot
PA_1 = \pi r l + \pi(r-r_1)PA_1$.
3
Треугольники $PO_1A_1$ и $POA$ подобны (общий острый угол $P$), поэтому
$\dfrac{PA_1}{PA_1+l} = \dfrac{r_1}{r}$, откуда $PA_1 = \dfrac{l r_1}{r-r_1}$.
4
Подставляем найденное $PA_1$ в выражение для $S_{бок}$: после упрощения
$\pi(r-r_1)\cdot\dfrac{lr_1}{r-r_1} = \pi r_1 l$, значит $S_{бок} = \pi r l + \pi r_1 l =
\pi(r+r_1)l$ — что и требовалось доказать.
🧠 Запомни: усечённый конус — это конус без "верхушки". Формула боковой поверхности
$S_{бок}=\pi(r+r_1)l$ обобщает формулу конуса: при $r_1\to 0$ она превращается в $S_{бок}=\pi r l$.