11 класс · Объёмы тел
Объёмы прямой призмы и цилиндра
Объём прямой призмы
Теорема. Объём прямой призмы равен
произведению площади основания на
высоту:
$$V = S \cdot h.$$
Доказательство проводится в два шага: сначала для треугольной призмы, а затем — для произвольной прямой призмы (сведением к треугольным).
1
Рассмотрим прямую треугольную призму $ABC A_1B_1C_1$ с объёмом $V$ и
высотой $h$. Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $BD$ — она делит его на два треугольника
$ABD$ и $BDC$ (хотя бы одна высота треугольника обладает этим свойством).
2
Плоскость $BB_1D$ разбивает призму на две призмы с основаниями $ABD$ и $BDC$. Их объёмы
равны $S_{ABD}\cdot h$ и $S_{BDC}\cdot h$ соответственно. По свойству аддитивности объёмов
$V = S_{ABD}\cdot h + S_{BDC}\cdot h = (S_{ABD}+S_{BDC})\cdot h = S_{ABC}\cdot h$.
3
Теперь возьмём произвольную прямую призму с площадью основания $S$ и высотой $h$
(например, пятиугольную). Разобьём её основание диагоналями из одной вершины на треугольники,
а саму призму — соответствующими диагональными плоскостями на треугольные призмы той же
высоты $h$.
4
Объём каждой треугольной призмы по уже доказанному равен (площадь её треугольника)$\cdot h$.
Складывая все объёмы и вынося общий множитель $h$ за скобки, получаем в скобках сумму площадей
треугольников — то есть площадь $S$ всего основания. Значит, $V = S\cdot h$. Теорема
доказана для любой прямой призмы.
💡 Из жизни: представь стопку одинаковых картонных многоугольников толщиной
$h$ — сколько бы их ни было и какой бы формы ни была стопка (треугольная, шестиугольная), общий
объём всегда равен площади одного листа, умноженной на высоту стопки.
Призма, вписанная в цилиндр и описанная около него
Определение. Призма вписана в
цилиндр, если её основания вписаны в основания
цилиндра, и призма описана около цилиндра, если её основания описаны около
оснований цилиндра.
Высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра — это понадобится при доказательстве формулы объёма цилиндра ниже.
Объём цилиндра
Теорема. Объём цилиндра равен
произведению площади основания на высоту:
$$V = \pi r^2 h.$$
1
Впишем в цилиндр $P$ радиуса $r$ и высоты $h$
правильную $n$-угольную призму $P_n$, а
также рассмотрим правильную $n$-угольную призму $Q_n$, описанную около этого же цилиндра.
Обе призмы прямые и имеют ту же высоту $h$.
2
Площадь основания вписанной призмы $S_n = \dfrac{n r^2}{2}\sin\dfrac{360°}{n}$, а площадь
основания описанной призмы $S'_n = n r^2 \tan\dfrac{180°}{n}$ — она больше $S_n$.
3
Призма $P_n$ содержится в цилиндре $P$, а цилиндр $P$ содержится в призме $Q_n$, поэтому
объём $V$ цилиндра удовлетворяет неравенствам $S_n\cdot h < V < S'_n\cdot h$.
4
Будем неограниченно увеличивать число сторон $n$. Из планиметрии известно, что площадь
правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $r$, стремится к площади самого
круга $\pi r^2$ — поэтому и $S_n$, и $S'_n$ стремятся к $\pi r^2$.
5
Значит, обе границы неравенства $S_n\cdot h$ и $S'_n\cdot h$ стремятся к $\pi r^2 h$, а
значит и $V = \pi r^2 h$. Обозначив площадь основания $\pi r^2$ буквой $S$, получаем ту же
формулу, что и для призмы: $V = S\cdot h$. Теорема доказана.
💡 Из жизни: объём цилиндра считается так же просто, как объём призмы — площадь
дна (круга) умножить на высоту. Например, объём консервной банки или стакана — это площадь донышка,
умноженная на высоту стенки.
⚠️ Частая ошибка: формулу $V=\pi r^2 h$ для цилиндра путают с формулой объёма
конуса $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ — у конуса появляется множитель $\dfrac{1}{3}$,
так как он «сужается» к вершине, а у цилиндра сечение одинаковое на любой высоте. Проверяй себя:
если тело имеет одинаковое сечение по всей высоте (призма, цилиндр) — множителя $\frac{1}{3}$ нет,
если тело сужается к вершине (пирамида, конус) — множитель $\frac{1}{3}$ есть.
🧠 Запомни:
$$V_{призмы} = S\cdot h, \qquad V_{цилиндра} = \pi r^2 h = S\cdot h.$$
Обе формулы — «площадь основания умножить на высоту». Единственная разница: у призмы основание —
многоугольник, у цилиндра — круг.