Идея. Пусть тело $T$ заключено между двумя параллельными плоскостями, а ось $Ox$
перпендикулярна им; точки пересечения оси с плоскостями — $a$ и $b$. Для каждой точки $x\in[a;b]$
сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через эту точку, имеет площадь $S(x)$.
Тогда объём тела вычисляется по формуле
$$V = \int\limits_a^b S(x)\,dx.$$
Разобьём отрезок $[a;b]$ на много маленьких частей. На каждой такой части тело почти не меняется
по толщине, поэтому его объём приближённо равен $S(x_i)\cdot \Delta x_i$ — площадь сечения умножить
на маленькую толщину слоя. Сумма объёмов всех слоёв — это интегральная сумма, а при неограниченном
измельчении она стремится к интегралу $\int_a^b S(x)\,dx$. Этой формулой мы и выведем все три
теоремы ниже.
💡 Из жизни: представь, что тело нарезано на очень тонкие ломтики, как батон
колбасы. Объём каждого ломтика — это его площадь сечения, умноженная на тонкую толщину. Сложив
объёмы всех ломтиков, получаем объём всего тела — это и есть интеграл.
Объём наклонной призмы
Теорема. Объём наклонной призмы равен
произведению площади основания на
высоту:
$$V = S \cdot h.$$
Доказательство проводится в два шага: сначала для треугольной призмы, а затем — для произвольной
наклонной призмы (сведением к треугольным).
1
Рассмотрим наклонную треугольную призму $ABC A_1B_1C_1$ с объёмом $V$,
площадью основания $S$ и высотой $h$. Отметим точку $O$ на одном из оснований и направим ось
$Ox$ перпендикулярно основаниям. Сечение призмы плоскостью с координатой $x$ — это треугольник
$A_1B_1C_1$, равный основанию $ABC$: четырёхугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм (отрезки
$AA_1$ и $BB_1$ равны и параллельны, так как это боковые рёбра призмы), поэтому $A_1B_1=AB$.
Аналогично $B_1C_1=BC$ и $A_1C_1=AC$ — треугольники равны по трём сторонам.
2
Значит, площадь сечения $S(x)=S$ — не зависит от $x$ (это и есть принцип
Кавальери: если сечения двух тел на любой высоте равны по площади, объёмы этих тел равны).
Применяя основную формулу при $a=0$, $b=h$, получаем
$$V=\int\limits_0^h S(x)\,dx=\int\limits_0^h S\,dx = S\cdot h.$$
3
Теперь возьмём произвольную наклонную призму с высотой $h$ и площадью основания $S$
(например, пятиугольную). Разобьём её основание диагоналями из одной вершины на треугольники,
а саму призму — соответствующими диагональными плоскостями на треугольные призмы той же высоты
$h$.
4
Объём каждой треугольной призмы по уже доказанному равен (площадь её треугольника)$\cdot h$.
Складывая все объёмы и вынося общий множитель $h$ за скобки, получаем в скобках сумму площадей
треугольников — то есть площадь $S$ всего основания. Значит, $V=S\cdot h$ для любой наклонной
призмы. Теорема доказана.
Замечание. Объём наклонной призмы можно вычислить и иначе: он равен произведению
бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам и
пересекающей их. Коротко: объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь
перпендикулярного ему сечения.
💡 Из жизни: представь стопку одинаковых листов картона. Если сдвигать листы друг
относительно друга (как колоду карт, которую «сдвинули» веером), стопка становится наклонной, но
её объём не меняется — ведь количество и толщина листов те же самые. Это и есть принцип Кавальери
в действии — попробуй ползунок «угол наклона» в интерактиве справа.
⚠️ Частая ошибка: в наклонной призме путают высоту $h$ (перпендикулярное
расстояние между плоскостями оснований) с длиной бокового ребра. Если призма
наклонена, боковое ребро всегда длиннее высоты. В формулу $V=Sh$ нужно подставлять именно высоту,
а не ребро.
Объём пирамиды
Теорема. Объём пирамиды равен одной
трети произведения площади основания на высоту:
$$V = \dfrac{1}{3}\, S \cdot h.$$
1
Рассмотрим треугольную пирамиду $OABC$ с объёмом $V$, площадью основания $S$ и высотой
$h$. Проведём ось $Ox$ вдоль высоты пирамиды и рассмотрим сечение $A_1B_1C_1$ плоскостью,
перпендикулярной оси и проходящей через точку с координатой $x$.
2
Треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны, так как $A_1B_1\parallel AB$ и т. д. Из подобия
треугольников $OA_1M_1$ и $OAM$ (общий острый угол в вершине $O$) следует
$\dfrac{OA_1}{OA}=\dfrac{OM_1}{OM}=\dfrac{x}{h}$. Значит, коэффициент подобия сечения к
основанию равен $\dfrac{x}{h}$, поэтому площадь
сечения $$S(x)=\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\! S.$$
3
Применяя основную формулу при $a=0$, $b=h$, получаем
$$V=\int\limits_0^h \left(\frac{x}{h}\right)^{2} S\,dx=\frac{S\mkern-2mu}{h^{2}}\int\limits_0^h x^{2}\,dx
=\frac{S\mkern-2mu}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{1}{3}\,S h.$$
4
Для произвольной пирамиды с площадью основания $S$ и высотой $h$ разбиваем основание
диагоналями на треугольники и делим саму пирамиду соответствующими плоскостями на треугольные
пирамиды с общей высотой $h$ и общей вершиной. Складывая объёмы $\frac13 S_i h$ и вынося
$\frac13 h$ за скобки, получаем $V=\frac13 Sh$. Теорема доказана.
Следствие. Объём $V$ усечённой пирамиды высотой $h$ с площадями оснований $S$ и
$S_1$ вычисляется по формуле
$$V=\frac{h}{3}\left(S+S_1+\sqrt{S\,S_1}\right).$$
Усечённая пирамида получается из полной пирамиды отсечением меньшей пирамиды у вершины, поэтому
её объём — это разность объёмов исходной и отсечённой пирамид.
💡 Из жизни: попробуй в интерактиве справа подвигать ползунок «сечение» у
пирамиды — чем ближе к вершине, тем сечение меньше, а площадь сечения убывает не линейно, а
квадратично (в 2 раза ближе к вершине — площадь в 4 раза меньше).
⚠️ Частая ошибка: забывают множитель $\dfrac13$ и считают объём пирамиды так же,
как объём призмы ($V=Sh$). Также путают высоту пирамиды (перпендикуляр из вершины на плоскость
основания) с длиной бокового ребра или апофемой боковой грани.
Объём конуса
Теорема. Объём конуса равен одной трети
произведения площади основания на высоту:
$$V = \dfrac{1}{3}\, S \cdot h = \dfrac13 \pi R^2 h.$$
1
Рассмотрим конус с объёмом $V$, радиусом основания $R$, высотой $h$ и вершиной в точке
$O$. Введём ось $Ox$ вдоль оси конуса. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси и
проходящей через точку с координатой $x$, — это круг с центром на оси конуса.
2
Из подобия прямоугольных треугольников (вершина—ось—радиус сечения и вершина—ось—радиус
основания) следует $\dfrac{R_1}{R\mkern-2mu}=\dfrac{x}{h}$, откуда $R_1=\dfrac{xR}{h}$. Поэтому
площадь сечения
$$S(x)=\pi R_1^{2}=\pi\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\! R^{2}.$$
3
Применяя основную формулу при $a=0$, $b=h$, получаем
$$V=\int\limits_0^h \pi\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\! R^{2}\,dx
=\frac{\pi R^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{1}{3}\pi R^{2} h.$$
Так как площадь основания конуса $S=\pi R^2$, получаем $V=\dfrac13 S h$ — ту же формулу, что и
для пирамиды. Теорема доказана.
Следствие. Объём $V$ усечённого конуса высотой $h$ с площадями оснований $S$ и
$S_1$ вычисляется по той же формуле, что и для усечённой пирамиды:
$$V=\frac{h}{3}\left(S+S_1+\sqrt{S\,S_1}\right).$$
🧠 Запомни:
$$V_{\text{накл. призмы}}=S\cdot h,\qquad V_{\text{пирамиды}}=\frac13 S\cdot h,\qquad
V_{\text{конуса}}=\frac13 S\cdot h=\frac13\pi R^2 h.$$
У «призмоподобных» тел (прямая и наклонная призма, цилиндр) сечение не меняется по высоте —
множителя $\frac13$ нет. У «пирамидоподобных» тел (пирамида, конус) сечение сужается к вершине по
закону $S(x)=(x/h)^2\,S$ — отсюда и множитель $\frac13$ при интегрировании $x^2$.