Теорема. Объём шара радиуса $R$ равен
$$V = \frac{4}{3}\pi R^3.$$
Идея доказательства та же, что и для объёмов наклонной призмы, пирамиды и конуса из предыдущего параграфа —
через основную формулу вычисления объёмов тел $V=\int\limits_a^b S(x)\,dx$, где $S(x)$ — площадь сечения тела
плоскостью, перпендикулярной выбранной оси.
Доказательство
1
Рассмотрим шар радиуса $R$ с центром $O$ и выберем ось $Ox$ произвольным образом. Сечение шара
плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей через точку $M$ этой оси с координатой $x$,
является кругом с центром $M$.
2
Обозначим радиус этого круга $r$. Из прямоугольного треугольника $OMC$ (где $C$ — точка на
окружности сечения) находим $r = OC = \sqrt{OM^2 - ...}$ — точнее, $r^2 = R^2 - x^2$, так как
$OC=R$, $OM=x$.
3
Площадь сечения $S(x) = \pi r^2 = \pi (R^2 - x^2)$. Формула верна для любого положения точки $M$ на
диаметре, то есть при всех $x$, удовлетворяющих условию $-R \le x \le R$.
4
Применяя основную формулу вычисления объёмов при $a=-R$, $b=R$:
$$V=\int_{-R}^{R}\pi(R^2-x^2)\,dx = \pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-R}^{R}.$$
5
Подставляя пределы: $\pi\left[\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)-\left(-R^3+\frac{R^3}{3}\right)\right] =
\pi\left(\frac{4R^3}{3}+\frac{4R^3}{3}\cdot 0\right)$, что после упрощения даёт
$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$. Теорема доказана.
💡 Из жизни: если один мяч в 2 раза больше другого по радиусу, то материала (объёма резины
внутри) в нём уйдёт не в 2, а в $2^3=8$ раз больше — объём растёт кубически, а не линейно с размером.
⚠️ Частая ошибка: диаметр Луны примерно в 4 раза меньше диаметра Земли, и многие по инерции
считают, что объём Луны тоже в 4 раза меньше объёма Земли. На самом деле объём меньше в $4^3=64$ раза — именно
потому, что $V$ зависит от $R^3$, а не от $R$.
🧠 Запомни: $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ — объём шара зависит от радиуса кубически.
Шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор
Определение.Шаровым сегментом называется часть
шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Секущая плоскость $\alpha$ делит шар на два шаровых
сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длина отрезка
диаметра, перпендикулярного секущей плоскости, от плоскости до поверхности шара — высотой
сегмента ($h$).
Если радиус шара равен $R$, а высота сегмента равна $h$, то объём $V$ шарового сегмента вычисляется по
формуле
$$V = \pi h^2\left(R - \frac{h}{3}\right).$$
Формула получается тем же способом, что и для целого шара — только пределы интегрирования берутся не по
всему диаметру, а лишь по высоте сегмента: $a = R-h$, $b=R$.
💡 Из жизни: шаровой сегмент — это «шапочка», срезанная с апельсина одним движением ножа,
или купол стадиона.
Определение.Шаровым слоем называется часть шара,
заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении шара этими
плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями — высотой шарового слоя.
Объём шарового слоя вычисляют как разность объёмов двух шаровых сегментов — большего и
меньшего, отсекаемых от того же полюса шара двумя секущими плоскостями.
💡 Из жизни: шаровой слой — это долька, вырезанная из апельсина двумя параллельными разрезами
(например, «средний ломтик» шара).
Определение.Шаровым сектором называется тело,
полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим $90°$, вокруг прямой, содержащей один из
ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.
Если радиус шара равен $R$, а высота шарового сегмента равна $h$, то объём $V$ шарового сектора
вычисляется по формуле
$$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h.$$
Вывод формулы (сегмент + конус)
1
Радиус основания сегмента (и конуса) найдём из прямоугольного треугольника: $r^2 = R^2-(R-h)^2 =
2Rh-h^2$. Высота конуса — расстояние от центра $O$ до секущей плоскости, то есть $R-h$.
2
Объём конуса: $V_{кон}=\dfrac{1}{3}\pi r^2(R-h) = \dfrac{1}{3}\pi(2Rh-h^2)(R-h)$. Раскрывая скобки:
$V_{кон}=\dfrac{\pi}{3}\left(2R^2h-3Rh^2+h^3\right)$.
3
Объём сегмента (уже известен): $V_{сегм}=\pi h^2\left(R-\dfrac{h}{3}\right)=\pi R h^2 -
\dfrac{\pi}{3}h^3$.
4
Складываем: $V=V_{сегм}+V_{кон} = \pi Rh^2-\dfrac{\pi}{3}h^3+\dfrac{\pi}{3}\left(2R^2h-3Rh^2+h^3\right)$.
После приведения подобных слагаемые с $h^3$ и $Rh^2$ взаимно уничтожаются, и остаётся
$V=\dfrac{2}{3}\pi R^2 h$.
💡 Из жизни: шаровой сектор похож на рожок мороженого — вафельный конус (боковая поверхность
конуса) плюс шарик мороженого сверху (шаровой сегмент), вместе образующие одно тело.
В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса, сферу нельзя развернуть на плоскость — способ через
развёртку для неё непригоден. Площадь сферы выводят через предельный переход по вписанным (точнее — описанным)
многогранникам, опираясь уже на доказанную формулу объёма шара.
Определение. Многогранник называется описанным около сферы, если сфера
касается всех его граней.
Доказательство формулы $S=4\pi R^2$
1
Рассмотрим сферу радиуса $R$ с центром $O$ и многогранник, описанный около неё и имеющий $n$ граней
площадью $S_1, S_2, \ldots, S_n$. Соединим центр $O$ отрезками со всеми вершинами многогранника — получим
$n$ пирамид с общей вершиной $O$, основания которых — грани многогранника, а высоты — радиусы $R$,
проведённые в точки касания.
2
Объём $i$-й пирамиды равен $\dfrac{1}{3}S_i R$. Объём всего описанного многогранника —
$V_n=\sum \dfrac13 S_i R = \dfrac{1}{3}R\,P_n$, где $P_n=\sum S_i$ — площадь поверхности многогранника.
Отсюда $\dfrac{P_n}{V_n}=\dfrac{3}{R\mkern-2mu}$.
3
Будем неограниченно увеличивать $n$ так, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. Тогда
описанный многогранник всё плотнее облегает сферу, и его объём $V_n$ стремится к объёму шара
$\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
4
По определению площадь сферы — это предел площадей поверхностей таких многогранников:
$S=\lim\limits_{n\to\infty} P_n$. Переходя к пределу в равенстве $P_n = \dfrac{3}{R\mkern-2mu}V_n$, получаем
$S=\dfrac{3}{R\mkern-2mu}\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
5
После сокращения получаем $S=4\pi R^2$. Формула доказана.
⚠️ Частая ошибка: $4\pi R^2$ путают с площадью большого круга $\pi R^2$ — забывают
множитель $4$. Площадь сферы ровно в 4 раза больше площади её большого круга (это можно проверить и на
интерактиве во вкладке «Объём»).
🧠 Запомни: $S=4\pi R^2$.
Пример
Найдите площадь поверхности и объём шара радиуса $R=4$ см.