Понятие вектора в пространстве

Понятие вектора

В планиметрии мы уже работали с векторами на плоскости. В пространстве понятие вектора вводится точно так же.

Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Вектор с началом $A$ и концом $B$ обозначается $\overrightarrow{AB}$.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор — такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определённого направления. Нулевой вектор обозначается $\vec 0$.

Определение. Длиной ненулевого вектора $\overrightarrow{AB}$ называется длина отрезка $AB$. Длина вектора $\overrightarrow{AB}$ обозначается $|\overrightarrow{AB}|$. Длина нулевого вектора считается равной нулю: $|\vec 0|=0$.

💡 Из жизни: сила, перемещение, скорость — примеры величин, для которых важно не только
«сколько», но и «куда». Такие величины называют векторными. При изучении электрических и магнитных явлений
появляются новые примеры: электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется вектором
напряжённости, а магнитное поле — вектором магнитной индукции.

⚠️ Частая ошибка: считать, что $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — это «один и тот же» вектор, ведь отрезок один и тот же. На самом деле это два разных вектора — они лежат на одной прямой и имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны.

Коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы

Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если два ненулевых коллинеарных вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ таковы, что лучи $AB$ и $CD$ сонаправлены, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ называются сонаправленными — запись $\vec a \uparrow\uparrow \vec b$. Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы называются противоположно направленными — запись $\vec c \uparrow\downarrow \vec d$. Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором.

Посмотри на параллелепипед справа. На нём:

$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ — лежат на параллельных прямых $AB$ и $DC$, и лучи $AB$, $DC$ сонаправлены, значит $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC}$;
$\overrightarrow{BA}$ лежит на той же прямой, что и $\overrightarrow{AB}$, но направлен в обратную сторону — $\overrightarrow{AB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BA}$;
$\overrightarrow{AA_1}$ не лежит ни на прямой $AB$, ни на параллельной ей прямой — векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AA_1}$ вообще не коллинеарны, поэтому о их сонаправленности или противоположной направленности говорить бессмысленно.

⚠️ Частая ошибка: путать «коллинеарны» и «сонаправлены». Коллинеарность — это только про параллельность прямых, на которых лежат векторы; она ничего не говорит про то, куда именно они смотрят. Коллинеарные векторы могут быть как сонаправленными, так и противоположно направленными.

Равенство векторов

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

На параллелепипеде выше $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, так как $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC}$ и $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ (противоположные стороны параллелограмма $ABCD$ равны и параллельны). А вот $\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}$ — длины равны, но направления противоположны.

⚠️ Частая ошибка: считать, что раз $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$ (длины совпадают), то и векторы равны. Равенство длин — необходимое, но не достаточное условие: нужно ещё, чтобы векторы были сонаправлены.

Если точка $A$ — начало вектора $\vec a$, говорят, что вектор $\vec a$ отложен от точки $A$. Оказывается, от любой точки можно отложить вектор, равный данному, причём только один.

💡 Проверь сам: перетащи точку $M$ во вкладке
«Построй вектор» в любое место столика — стрелка $\overrightarrow{MN}$
всегда останется той же длины и того же направления, что и эталонный вектор $\vec a$.

Доказательство (единственность)

🧠 Запомни: вектор = направленный отрезок; коллинеарные — на параллельных прямых; сонаправленные $\vec a\uparrow\uparrow\vec b$ / противоположно направленные $\vec a\uparrow\downarrow\vec b$ — только для коллинеарных; равные векторы = сонаправлены и равны по длине; от любой точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному.