Представь угол комнаты: две стены сходятся в полу, а третье направление — вертикальное ребро, идущее
вверх. Если взять два вектора вдоль пола (например, вдоль плинтусов) и третий — вдоль вертикального ребра,
все три «лежат в одной комнате», но не в одной плоскости: третий вектор торчит вверх. А если все три
верёвки протянуть вдоль пола (в любых направлениях), то они всегда лежат в одной плоскости — плоскости
пола.
Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от
одной и той же точки они лежат в одной плоскости. Другими словами, векторы компланарны, если существуют
равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Любые два вектора всегда компланарны — через две прямые (или совпадающие, или
пересекающиеся, или одну прямую) всегда можно провести плоскость. Три вектора, среди которых есть два
коллинеарных, тоже всегда компланарны — если два вектора лежат на одной прямой, третий вектор вместе с этой
прямой задаёт плоскость. А вот три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и
некомпланарными.
💡 Попробуй сам: перейди на вкладку «Компланарность»
справа и подвигай высоту вектора $\vec c$ — как только он опускается в ту же плоскость, что и
$\vec a$ и $\vec b$ (высота становится равной нулю), тройка векторов «защёлкивается» в компланарную.
⚠️ Частая ошибка: путать «любые два вектора компланарны» (это верно всегда) с «любые три
вектора компланарны» (это неверно) — стоит взять один вектор «вверх», как выйти из
плоскости первых двух, и компланарность нарушится.
Признак компланарности трёх векторов
Признак. Если вектор $\vec c$ можно разложить по векторам $\vec a$ и $\vec b$, то есть
представить в виде
$$\vec c = x\vec a + y\vec b,$$
где $x$ и $y$ — некоторые числа, то векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ компланарны.
Доказательство
1
Считаем, что $\vec a$ и
$\vec b$ не коллинеарны (если коллинеарны — компланарность
очевидна). Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}=\vec a$ и
$\overrightarrow{OB}=\vec b$ — они лежат в одной плоскости $OAB$.
2
Тогда в этой же плоскости лежат и векторы $x\cdot\overrightarrow{OA}$ и $y\cdot\overrightarrow{OB}$ —
ведь умножение на число не выводит вектор с прямой, на которой он лежит.
3
А значит, в плоскости $OAB$ лежит и их сумма $x\cdot\overrightarrow{OA}+y\cdot\overrightarrow{OB}$ —
вектор, равный $\vec c$. Значит, $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ компланарны.
Верно и обратное: если $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ компланарны, а $\vec a$ и
$\vec b$ не коллинеарны, то $\vec c$ можно разложить по $\vec a$ и $\vec b$, причём коэффициенты $x$, $y$
находятся единственным образом (это следует из теоремы планиметрии о разложении вектора по двум
неколлинеарным векторам).
Правило параллелепипеда
Складывать два вектора умеем правилом треугольника или параллелограмма. А как сложить сразу
три некомпланарных вектора? Для этого есть удобное «правило параллелепипеда».
Правило параллелепипеда. Пусть $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ — некомпланарные векторы.
Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}=\vec a$, $\overrightarrow{OB}=\vec b$,
$\overrightarrow{OC}=\vec c$ и построим на отрезках $OA$, $OB$, $OC$ как на рёбрах параллелепипед. Тогда
диагональ $\overrightarrow{OD}$ этого параллелепипеда равна
сумме всех трёх векторов:
$$\overrightarrow{OD} = \vec a + \vec b + \vec c.$$
💡 Попробуй сам: на вкладке «Параллелепипед»
потяни точки $A$, $B$ и высоту вектора $C$ — параллелепипед перестраивается, а диагональ $OD$ остаётся
равной сумме $\vec a+\vec b+\vec c$ при любой форме параллелепипеда.
Доказательство
1
По правилу многоугольника пройдём от $O$ до диагонали $D$ через вершины $E$ (соседнюю с $O$ по
рёбрам $a$ и $b$) и саму $D$: $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{ED}$.
2
В свою очередь $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AE}$, где
$\overrightarrow{AE}$ — ребро, равное $\overrightarrow{OB}=\vec b$ (противоположные рёбра параллелепипеда
равны и сонаправлены). Значит, $\overrightarrow{OE} = \vec a + \vec b$.
3
А отрезок $ED$ — тоже ребро параллелепипеда, равное $\overrightarrow{OC}=\vec c$. Складывая всё
вместе: $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED} = \vec a+\vec
b+\vec c$. Что и требовалось доказать.
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам
Определение. Если вектор $\vec p$ представлен в виде
$$\vec p = x\vec a + y\vec b + z\vec c,$$
где $x$, $y$, $z$ — некоторые числа, то говорят, что вектор $\vec p$ разложен по векторам
$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$. Числа $x$, $y$, $z$ называются коэффициентами разложения.
💡 Теорема. Любой вектор $\vec p$ можно разложить по трём данным некомпланарным векторам
$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Существование разложения
1
Отложим от точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}=\vec a$, $\overrightarrow{OB}=\vec b$,
$\overrightarrow{OC}=\vec c$, $\overrightarrow{OP}=\vec p$.
2
Через точку $P$ проведём прямую, параллельную $OC$, и обозначим точку её пересечения с плоскостью
$AOB$ через $P_1$. Тогда $\overrightarrow{P_1P}$ коллинеарен
$\vec c$, то есть $\overrightarrow{P_1P}=z\vec c$ для некоторого числа $z$.
3
Через $P_1$ проведём прямую, параллельную $OB$, и обозначим точку её пересечения с прямой $OA$ через
$P_2$. Тогда $\overrightarrow{P_2P_1}=y\vec b$, а
$\overrightarrow{OP_2}=x\vec a$ для некоторых чисел $x$, $y$.
Допустим, есть два разложения: $\vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c$ и
$\vec p=x_1\vec a+y_1\vec b+z_1\vec c$. Вычтем одно из другого:
$\vec 0=(x-x_1)\vec a+(y-y_1)\vec b+(z-z_1)\vec c$.
2
Если бы $z-z_1\neq0$, можно было бы выразить $\vec c$ через $\vec a$ и $\vec b$ — а это по признаку
компланарности означало бы, что $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ компланарны. Но по условию они
некомпланарны — противоречие.
3
Значит, $z=z_1$, и аналогично $x=x_1$, $y=y_1$. Коэффициенты разложения определяются единственным
образом.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Разложение»
потяни точку $P$ (и её высоту) — коэффициенты $x$, $y$, $z$
пересчитываются мгновенно, а пунктирные отрезки $\overrightarrow{OP_2}=x\vec a$,
$\overrightarrow{P_2P_1}=y\vec b$ и $\overrightarrow{P_1P}=z\vec c$ показывают путь построения из
доказательства.
Если векторы $\vec p$, $\vec a$, $\vec b$ компланарны, то $z=0$ — в этом случае прямая через $P$,
параллельная $OC$, проходит через саму точку $P$ (она уже лежит в плоскости $AOB$), и вектор $\vec p$
фактически раскладывается только по двум векторам $\vec a$ и $\vec b$.
Пример: задача 599
Точка $K$ — середина ребра $BC$ тетраэдра $ABCD$. Разложить вектор $\overrightarrow{DK}$ по векторам
$\vec a=\overrightarrow{DA}$, $\vec b=\overrightarrow{AB}$, $\vec c=\overrightarrow{AC}$.
1
Так как $K$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{DK}=\dfrac12\left(\overrightarrow{DB}+
\overrightarrow{DC}\right)$ (это правило параллелограмма для медианы треугольника $DBC$).
2
Выразим оба вектора через $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$: $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+
\overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=
\vec a+\vec c$.
⚠️ Частая ошибка: пытаться разложить вектор по трём векторам, которые сами компланарны —
тогда коэффициенты $x$, $y$, $z$ не единственны (их бесконечно много). А если раскладываемый вектор не лежит
в их общей плоскости, разложения по этим трём векторам вообще не существует. Теорема работает только для
некомпланарной тройки $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$.
🧠 Запомни: • Любые два вектора всегда компланарны; три вектора компланарны, если один раскладывается по двум
другим (или среди них есть коллинеарные).
• Правило параллелепипеда: $\overrightarrow{OD}=\vec a+\vec b+\vec c$ — диагональ параллелепипеда,
построенного на трёх некомпланарных векторах.
• Любой вектор $\vec p$ единственным образом раскладывается по трём некомпланарным векторам:
$\vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c$.