Встань в угол комнаты — там, где сходятся пол и две стены. Из этой точки выходят три ребра: одно вдоль
одного плинтуса, другое вдоль второго плинтуса (перпендикулярно первому), и третье — вертикальное ребро,
идущее вверх (перпендикулярно обоим). Если на каждом из этих трёх рёбер выбрать направление и единицу
измерения, получится ровно то, что в геометрии называют прямоугольной системой координат в пространстве —
только теперь вместо двух осей, как на плоскости, их три.
Определение. Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые,
на каждой из них выбрано направление и единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная
система координат в пространстве. Прямые с выбранными направлениями называются осями
координат, а их общая точка — началом координат (обозначается буквой $O$). Оси
обозначаются $Ox$, $Oy$, $Oz$ и называются: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается
$Oxyz$. Плоскости, проходящие через пары осей, называются координатными плоскостями:
$Oxy$, $Oyz$, $Ozx$.
В прямоугольной системе координат каждой точке $M$ пространства сопоставляется тройка чисел — её
координаты. Проведём через точку $M$ три плоскости, перпендикулярные осям координат, и обозначим через
$M_1$, $M_2$, $M_3$ точки их пересечения с осями абсцисс, ординат и аппликат. Тогда абсцисса $x = OM_1$
(со знаком минус, если $M_1$ на отрицательной полуоси), ордината $y=OM_2$, аппликата $z=OM_3$ — по тому же
правилу. Координаты точки записываются в скобках: $M(x;y;z)$.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Система $Oxyz$»
справа потяни точку $M$ по полу и подвигай ползунок высоты —
живые координаты $(x;y;z)$ пересчитываются мгновенно, а пунктирная «лесенка» показывает, как получаются
проекции $M_1$, $M_2$, $M_3$ на оси.
Если точка лежит на координатной плоскости или оси, часть её координат равна нулю. Например, если
$M\in Oxy$, то $z=0$; если $M\in Ox$, то $y=0$ и $z=0$. Все координаты начала координат равны нулю:
$O(0;0;0)$.
Координаты вектора
На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор — вектор длины 1.
Обозначим через $\vec i$ единичный вектор оси абсцисс, через $\vec j$ — ординат, через $\vec k$ —
аппликат. Векторы $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$ называются координатными векторами — они
некомпланарны, а значит любой вектор $\vec a$ можно разложить по ним, причём единственным образом:
$$\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k.$$
Коэффициенты $x$, $y$, $z$ называются координатами вектора $\vec a$ и записываются в
фигурных скобках: $\vec a\,\{x;y;z\}$.
Все координаты нулевого вектора равны нулю ($\vec 0 = 0\vec i+0\vec j+0\vec k$). Координаты равных
векторов соответственно равны.
💡 Правила действий с координатами. Пусть $\vec a\,\{x_1;y_1;z_1\}$ и $\vec b\,\{x_2;y_2;z_2\}$.
1° Координаты суммы: $\vec a+\vec b\,\{x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2\}$.
2° Координаты разности: $\vec a-\vec b\,\{x_1-x_2;\ y_1-y_2;\ z_1-z_2\}$.
3° Координаты произведения на число $\alpha$: $\alpha\vec a\,\{\alpha x_1;\ \alpha y_1;\
\alpha z_1\}$.
Пример: задача 640
Найти координаты вектора $\vec p = 2\vec a - \dfrac13\vec b + \vec c$, если $\vec a\,\{1;-2;0\}$,
$\vec b\,\{0;3;-6\}$, $\vec c\,\{-2;3;1\}$.
1
По правилу 3° вектор $2\vec a$ имеет координаты $\{2;-4;0\}$, а вектор $-\dfrac13\vec b$ — координаты
$\{0;-1;2\}$.
2
Так как $\vec p=(2\vec a)+\left(-\dfrac13\vec b\right)+\vec c$, координаты $\vec p$ вычисляем по
правилу 1°: $x=2+0-2=0$, $y=-4-1+3=-2$, $z=0+2+1=3$.
3
Итак, вектор $\vec p$ имеет координаты $\{0;-2;3\}$.
Связь координат векторов и точек
Радиус-вектором данной точки называется вектор, конец которого совпадает с этой точкой,
а начало — с началом координат.
💡 Теорема. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
1
Пусть точка $M(x;y;z)$, а $M_1,M_2,M_3$ — точки пересечения осей с плоскостями, проведёнными через
$M$ перпендикулярно осям. Тогда $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}+
\overrightarrow{OM_3}$.
2
Если $M_1$ на положительной полуоси, то $x=OM_1$, а векторы $\overrightarrow{OM_1}$ и $\vec i$
сонаправлены, поэтому $\overrightarrow{OM_1}=x\vec i$ (аналогично для отрицательной полуоси и для
$M_1=O$). Так же $\overrightarrow{OM_2}=y\vec j$, $\overrightarrow{OM_3}=z\vec k$.
3
Подставляя, получаем $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ — значит, координаты вектора
$\overrightarrow{OM}$ равны $\{x;y;z\}$, то есть совпадают с координатами точки $M$. Что и требовалось
доказать.
Следствие. Пусть $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$. Так как
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, а координаты $\overrightarrow{OB}$ и
$\overrightarrow{OA}$ совпадают с координатами точек $B$ и $A$, то
$$\overrightarrow{AB}\,\{x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1\}.$$
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
⚠️ Частая ошибка: путают порядок вычитания и берут координаты начала минус координаты конца.
Запомни: конец минус начало — $\overrightarrow{AB}\,\{x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A\}$, а не наоборот.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Вектор $\overrightarrow{AB}$»
потяни точки $A$ и $B$
(и их высоты) — пунктирная «лесенка» разложения по $\vec i,\vec j,\vec k$ наглядно показывает, откуда берутся
координаты $\{x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1\}$.
Простейшие задачи в координатах
а) Координаты середины отрезка
Пусть $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$, а $C$ — середина отрезка $AB$. Из курса планиметрии известно,
что $\overrightarrow{OC}=\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Записав это равенство в
координатах, получаем:
$$x=\frac{x_1+x_2}{2},\qquad y=\frac{y_1+y_2}{2},\qquad z=\frac{z_1+z_2}{2}.$$
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
б) Длина вектора по его координатам
Отложим на осях координат векторы $\overrightarrow{OA_1}=x\vec i$, $\overrightarrow{OA_2}=y\vec j$,
$\overrightarrow{OA_3}=z\vec k$ и рассмотрим вектор $\overrightarrow{OA}=\vec a$. По свойству диагонали
прямоугольного параллелепипеда $OA^2=OA_1^2+OA_2^2+OA_3^2$, откуда
$$|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$
в) Расстояние между двумя точками
Пусть $M_1(x_1;y_1;z_1)$, $M_2(x_2;y_2;z_2)$. Вектор $\overrightarrow{M_1M_2}$ имеет координаты
$\{x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1\}$, а расстояние $d=|\overrightarrow{M_1M_2}|$, поэтому по формуле длины
вектора:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$
💡 Попробуй сам: на вкладке «Расстояние и середина»
потяни точки $A$ и $B$ — живая формула считает $|AB|$ и координаты середины
$C$ одновременно.
Уравнение сферы
Уравнение с тремя переменными $x,y,z$ называется уравнением поверхности $F$, если ему
удовлетворяют координаты любой точки поверхности $F$ и не удовлетворяют координаты никакой точки вне неё.
💡 Вывод. Пусть сфера имеет радиус $R$ и центр $C(x_0;y_0;z_0)$. Расстояние от произвольной
точки $M(x;y;z)$ до центра $C$ равно $MC=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$.
1
Если точка $M$ лежит на сфере, то $MC=R$, то есть $MC^2=R^2$ — координаты точки $M$ удовлетворяют
уравнению $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$.
2
Если же точка $M$ не лежит на сфере, то $MC\ne R$, значит $MC^2\ne R^2$ — координаты точки $M$
этому уравнению не удовлетворяют.
3
Значит, уравнение сферы радиуса $R$ с центром $C(x_0;y_0;z_0)$ имеет вид
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$. Что и требовалось доказать.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Сфера» потяни
центр $C$ и ползунок радиуса $R$ — уравнение сферы
пересчитывается вживую.
🧠 Запомни: • $M(x;y;z)$ — координаты точки определяются проекциями на оси $Ox,Oy,Oz$.
• $\vec a\,\{x;y;z\}$ — координаты вектора, $\overrightarrow{AB}\,\{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\}$ (конец
минус начало).
• Середина отрезка: $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2};\dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$.
• Длина вектора: $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$; расстояние между точками:
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.
• Уравнение сферы: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$.