§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
Сложение векторов. Правило треугольника
В пространстве векторы складывают точно так же, как на плоскости. Отложим от произвольной точки $A$ вектор
$\overrightarrow{AB}$, равный вектору $\vec a$, а затем от точки $B$ отложим вектор $\overrightarrow{BC}$, равный
вектору $\vec b$.
Определение. Вектор $\overrightarrow{AC}$
называется суммой векторов $\vec a$ и $\vec b$:
$$\overrightarrow{AC} = \vec a + \vec b.$$
Такой способ сложения называется правилом треугольника.
В общем виде для любых трёх точек $A$, $B$, $C$ верно равенство
По этому же правилу складываются и коллинеарные векторы — хотя треугольника при этом,
конечно, не получается: точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой.
💡 Попробуй сам: перейди на вкладку «Треугольник»
справа и потяни точки $B$ и $C$ — вектор $\overrightarrow{AC}$ всегда будет равен сумме
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, даже если все три точки окажутся на одной прямой.
Точно так же, как в планиметрии, доказывается, что сумма $\vec a + \vec b$ не зависит от выбора точки $A$, от
которой откладывается вектор $\vec a$: если точку $A$ заменить другой точкой $A_1$, то вектор
$\overrightarrow{AC}$ заменится равным ему вектором $\overrightarrow{A_1C_1}$.
🧠 Свойства сложения векторов (те же, что и в планиметрии, справедливы и в пространстве) —
для любых векторов $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$:
$$\vec a + \vec b = \vec b + \vec a \quad \text{(переместительный закон)},$$
$$(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c) \quad \text{(сочетательный закон)}.$$
Правило параллелограмма и правило многоугольника
Для сложения двух неколлинеарных векторов удобно пользоваться также
правилом параллелограмма, известным из планиметрии.
Правило параллелограмма. Отложим векторы $\vec a=\overrightarrow{OA}$ и $\vec b=\overrightarrow{OB}$
от одной точки $O$ и достроим их до параллелограмма $OACB$. Тогда диагональ
$\overrightarrow{OC}$ этого параллелограмма и есть сумма
$\vec a+\vec b$.
💡 Проверь сам: на вкладке «Параллелограмм»
потяни точки $A$ и $B$ — сторона $\overrightarrow{AC}$ всегда достраивается параллельно и равной
$\overrightarrow{OB}$, а диагональ $\overrightarrow{OC}$ равна и $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$,
и $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}$ — отсюда наглядно видно, что $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$.
Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор
складывается со вторым, затем их сумма — с третьим и т. д. Из законов сложения следует, что сумма нескольких
векторов не зависит от порядка слагаемых. Это правило называется правилом многоугольника и в
общем виде записывается так: для произвольных точек $A_1, A_2,\dots,A_n$
⚠️ Частая ошибка: в отличие от планиметрии, «многоугольник», получающийся при сложении
нескольких векторов в пространстве, может оказаться пространственным — не все его вершины
обязаны лежать в одной плоскости. Правило многоугольника при этом продолжает работать точно так же: важен
только порядок точек, а не то, лежат ли они в одной плоскости.
Если начало первого вектора и конец последнего совпадают (точки $A_1$ и $A_n$ совпадают), то сумма всех
векторов равна нулевому вектору.
Противоположные векторы. Разность векторов
Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их
длины равны и они противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору $\vec a$, обозначается $-\vec a$.
Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Так, вектор
$\overrightarrow{BA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
Определение.Разностью векторов $\vec a$ и $\vec b$ называется такой вектор,
сумма которого с вектором $\vec b$ равна вектору $\vec a$. Разность можно найти по формуле
$$\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b).$$
На вкладке «Треугольник» разность видна напрямую: раз $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$,
то $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ — вектор, соединяющий концы двух векторов,
отложенных от одной точки $A$, и есть их разность (направленный от вычитаемого к уменьшаемому).
⚠️ Частая ошибка: при вычитании $\vec a-\vec b$ путают порядок и берут вектор, направленный не
от конца $\vec b$ к концу $\vec a$, а наоборот. Запомни: если $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и
$\vec b=\overrightarrow{AC}$ отложены от общей точки $A$, то $\vec a-\vec b=\overrightarrow{CB}$ — стрелка идёт
от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.
Доказательства справедливости законов сложения и формулы разности для векторов в пространстве ничем не
отличаются от соответствующих доказательств для векторов на плоскости.
Умножение вектора на число
Определение.Произведением ненулевого вектора $\vec a$ на число $k$
называется такой вектор $\vec b$, длина которого равна $|k|\cdot|\vec a|$, причём векторы $\vec a$ и $\vec b$
сонаправлены при $k>0$ и противоположно направлены при $k<0$. Произведением
нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора $\vec a$ на число $k$
обозначается $k\vec a$.
Из определения следует, что векторы $\vec a$ и $k\vec a$ всегда коллинеарны при любом $k$, а
произведение любого вектора на число $0$ есть нулевой вектор.
💡 Проверь сам: на вкладке «Умножение на число»
подвигай ползунок $k$ от $-2$ до $2$ — вектор $k\vec a$ вытягивается
и сжимается вдоль той же прямой, а при переходе через $k=0$ разворачивается в противоположную сторону.
🧠 Свойства умножения вектора на число (как и в планиметрии) — для любых векторов $\vec a$,
$\vec b$ и любых чисел $k$, $l$:
$$(kl)\vec a = k(l\vec a) \quad \text{(сочетательный закон)},$$
$$k(\vec a+\vec b) = k\vec a+k\vec b \quad \text{(1-й распределительный закон)},$$
$$(k+l)\vec a = k\vec a+l\vec a \quad \text{(2-й распределительный закон)}.$$
Почему $(-1)\vec a = -\vec a$
1
Сравним длины: по определению произведения на число $|(-1)\vec a| = |-1|\cdot|\vec a| = |\vec a|$ —
длины векторов $(-1)\vec a$ и $\vec a$ равны.
2
Так как $k=-1<0$, по определению векторы $\vec a$ и $(-1)\vec a$ противоположно направлены (если
$\vec a\neq\vec 0$).
3
Равные длины и противоположная направленность — это в точности определение противоположных векторов.
Значит, $(-1)\vec a=-\vec a$.
Точно так же, как в планиметрии, доказывается: если векторы $\vec a$ и $\vec b$
коллинеарны и $\vec a\neq\vec 0$, то существует число $k$, такое что $\vec b=k\vec a$.
⚠️ Частая ошибка: считать, что при $k<0$ длина вектора «становится отрицательной». Длина
вектора — это всегда неотрицательное число, $|k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|$; отрицательным бывает только сам
коэффициент $k$, а он лишь разворачивает вектор в обратную сторону.