Рассмотрим прямую $a$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Соединим точку $A$
отрезком с точкой $H$ прямой $a$. Отрезок AH называется перпендикуляром,
проведённым из точки $A$ к прямой $a$, если прямые $AH$ и $a$ перпендикулярны.
Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
📐ТеоремаИз точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр
к этой прямой, и притом только один.
💡Из жизниЕсли уронить отвес (грузик на нитке) из точки над столом,
нитка укажет кратчайший путь до стола — это и есть перпендикуляр. Такой путь единственный:
как ни крути, короче не получится.
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
В треугольнике из каждой вершины можно провести три особых отрезка — медиану,
биссектрису и высоту. Разберём каждый по отдельности — они выглядят похоже, но
определяются по-разному.
Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке справа отрезки
$AM_1$медиана на чертеже — медиана треугольника $ABC$,
проведённая из вершины $A$ к середине $M_1$ стороны $BC$.
📐ОпределениеБиссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектриса
$AL_1$биссектриса на чертеже делит угол $A$ на два равных угла
и упирается в точку $L_1$ стороны $BC$.
📐ОпределениеВысота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника
к прямой, содержащей противоположную сторону.
Любой треугольник имеет три высоты. Высота
$AH_1$высота на чертеже — это перпендикуляр из вершины
$A$ к прямой $BC$ (или к её продолжению, если треугольник тупоугольный — см. переключатель
«Тупоугольный» справа).
💡Из жизниВысота — это то же самое, что «уронить перпендикуляр»
из п. 16, только роль прямой $a$ теперь играет сторона треугольника (или её продолжение).
В остроугольном треугольнике основание высоты попадает прямо на сторону, а в тупоугольном —
выскакивает за пределы отрезка, на его продолжение.
⚠️Частая ошибкаВ тупоугольном треугольнике ученики ищут основание высоты
строго на самой стороне и не находят его — потому что оно лежит на
продолжении этой стороны, за пределами треугольника. Высота при этом всё
равно перпендикулярна прямой, которая содержит сторону, просто сам отрезок высоты
частично проходит вне треугольника.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательным общим свойством:
🧠Медианы треугольника пересекаются в одной точке; биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке; высоты треугольника (или их продолжения) также
пересекаются в одной точке. Эти утверждения доказываются в 8 классе — пока
достаточно запомнить факт.
18. Свойства равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны.
Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
Если равны все три стороны, треугольник называется равносторонним.
Теорема 1. Углы при основании равны
Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и докажем, что
$\angle B = \angle C$.
Шаг 0 из 3
1
Пусть $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Тогда $\angle 1 = \angle 2$
по определению биссектрисы.
2
Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку: $AB = AC$ (по условию,
стороны равнобедренного треугольника), $AD$ — общая сторона, $\angle 1 = \angle 2$.
3
В равных треугольниках против равных сторон ($AB=AC$, $AD=AD$) лежат равные углы,
значит $\angle B = \angle C$.
Теорема доказана.
Теорема 2. Биссектриса к основанию — она же медиана и высота
Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $BC$, $AD$ — его биссектриса.
Покажем, что $AD$ также медиана и высота.
Шаг 0 из 3
1
Из равенства треугольников $ABD$ и $ACD$ (доказанного выше) следует, что
$BD = DC$ и $\angle 3 = \angle 4$.
2
Равенство $BD = DC$ означает, что точка $D$ — середина стороны $BC$, а значит
$AD$ — ещё и медиана треугольника $ABC$.
3
Углы 3 и 4 — смежные и при этом равны друг другу, значит каждый из них прямой.
Поэтому $AD$ — ещё и высота треугольника $ABC$.
Теорема доказана.
Отсюда следуют равносильные утверждения: высота равнобедренного треугольника,
проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой; медиана, проведённая
к основанию, является высотой и биссектрисой. Всё дело в том, что для основания
равнобедренного треугольника эти три линии — один и тот же отрезок.
🧠Запомни
Медиана — к середине противоположной стороны.
Биссектриса — делит угол вершины пополам.
Высота — перпендикуляр к прямой, содержащей противоположную
сторону (в тупоугольном треугольнике падает на продолжение стороны).
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые
к основанию, совпадают в один отрезок.
Медианы (как и биссектрисы, как и высоты) любого треугольника пересекаются
в одной точке.