Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками.
Получится геометрическая фигура, которая называется треугольником.
Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки, которые их
соединяют, — сторонами треугольника.
На чертеже справа изображён треугольник с вершинами
Aвершина треугольника,
Bвершина треугольника,
Cвершина треугольника и сторонами
ABсторона на чертеже,
BCсторона на чертеже и
CAсторона на чертеже. Такой треугольник обозначают
$\triangle ABC$ (читается: «треугольник ABC»). Порядок букв можно менять:
$\triangle BCA$, $\triangle CBA$ и т. д. — это один и тот же треугольник.
Три угла — ∠BACугол на чертеже,
∠CBAугол на чертеже и
∠ACBугол на чертеже — называются углами
треугольника ABC. Часто их обозначают одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.
📐Периметр треугольникасумма длин трёх его сторон.
Равенство треугольников
Две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их
можно совместить наложением. Если два треугольника равны, то элементы
(то есть стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого.
Важное свойство: в равных треугольниках против соответственно равных сторон
(то есть совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и наоборот — против
соответственно равных углов лежат равные стороны.
💡Из жизниСравнить два земельных участка треугольной формы,
наложив один на другой, физически нельзя — они закреплены на местности. Но
установить их равенство можно, просто измерив и сравнив некоторые элементы
(стороны и углы), не сдвигая участки с места. Именно эту задачу решают
признаки равенства треугольников.
15. Первый признак равенства треугольников
Утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется
теоремой, а сами рассуждения — доказательством.
📐Теорема (первый признак равенства треугольников)Если две стороны
и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники ABC и $A_1B_1C_1$, у которых
$AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. Докажем, что
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
1
Так как $\angle A = \angle A_1$, треугольник ABC можно наложить на треугольник
$A_1B_1C_1$ так, что вершина A совместится с вершиной $A_1$, а стороны AB и AC
наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$.
2
Поскольку $AB = A_1B_1$, сторона AB совместится со стороной $A_1B_1$ —
в частности, совместятся точки B и $B_1$.
3
Поскольку $AC = A_1C_1$, сторона AC совместится со стороной $A_1C_1$ —
в частности, совместятся точки C и $C_1$.
4
Раз точки B и $B_1$, а также C и $C_1$ совпали, то совместятся и стороны
BC и $B_1C_1$. Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ полностью совместились —
значит, они равны:
$$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$
Теорема доказана.
Доказанная теорема выражает признак — равенство у треугольников двух сторон и угла
между ними, — по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется
первым признаком равенства треугольников (признак «по двум сторонам
и углу между ними»).
⚠️Частая ошибкаПутать «угол между сторонами» с любым третьим
углом треугольника. Признак работает только если равный угол лежит именно
между двумя проверяемыми равными сторонами — то есть это угол,
вершина которого является общей точкой этих двух сторон. Если взять две
равные стороны и равный угол, который не заключён между ними, треугольники
равными могут и не быть.
🧠Запомни
Треугольник задаётся тремя вершинами и тремя сторонами; сумма сторон — периметр.
Равные фигуры совмещаются наложением; в равных треугольниках равны все стороны и углы.
Первый признак: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ ⟹ $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Угол в признаке обязан лежать именно между двумя равными сторонами.
Перетащи вершины B или C синего треугольника — оранжевый треугольник
подстраивается сам, сохраняя равные стороны и угол между ними.
Фон — сдвинуть картинку, колесо/кнопки — масштаб