Признаки делимости на 10, на 2 и на 5

Зачем нужны признаки делимости

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое, всегда можно поделить «уголком». Но это долго и утомительно, особенно если числа большие. Математики придумали быстрые приёмы — признаки делимости, которые позволяют ответить на вопрос о делимости, просто взглянув на запись числа, без всякого деления.

Самый простой признак нам уже знаком — это признак делимости на 10: если число оканчивается на 0, оно делится на 10, а если оканчивается на любую другую цифру — не делится. Чтобы объединить эти два утверждения в одно, используют словосочетание «в том и только в том случае». Так и формулируется признак:

Число делится на 10 в том и только в том случае, когда его последняя цифра равна 0.

Вместо длинной фразы «в том и только в том случае» в математике используют знак равносильности $\Leftrightarrow$ (читается «равносильно»). С его помощью признак делимости на 10 записывается коротко:

        💡 Число $a$ делится на 10 $\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ равна 0.
        Проверь любое число на всех трёх признаках сразу во вкладке «Проверь число» справа.
      

Признак делимости на 5

Разберёмся, когда число делится на 5 — тут помогут уже изученные свойства делимости суммы и произведения.

Число 34 470 делится на 10, а 10 делится на 5. По свойству делимости произведения, значит, и 34 470 делится на 5. Понятно, что и любое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5.

Число 745 представим в виде суммы: $745 = 740+5$. Оба слагаемых делятся на 5, значит, по свойству делимости суммы, делится и вся сумма 745. Так и любое число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 5.

А число 5637 представим как $5637 = 5630 + 7$. Первое слагаемое делится на 5, а второе — нет. Значит, по свойству делимости суммы, и сама сумма 5637 на 5 не делится.

Число делится на 5 в том и только в том случае, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5.

        💡 Число $a$ делится на 5 $\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ равна 0 или 5.
      

Признак делимости на 2

Так же можно показать, что число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8 — эти цифры называют чётными. Остальные цифры — 1, 3, 5, 7, 9 — называют нечётными. Поэтому признак делимости на 2 формулируется совсем просто:

Число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается чётной цифрой.

        💡 Число $a$ делится на 2 $\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ — чётная.
        Таким образом, чётные числа всегда оканчиваются чётной цифрой, а нечётные — нечётной. Попробуй все десять
        цифр во вкладке «Все цифры» справа.
      

Доказательство в общем виде

Все три признака можно доказать сразу и для любого числа, а не только на конкретных примерах. Для этого в записи многозначного числа отделим последнюю цифру: любое натуральное число $N$ можно представить в виде $N = 10\cdot a + b$, где $b$ — последняя цифра числа, а $a$ — число, оставшееся после отбрасывания этой цифры. Например: $590 = 10\cdot 59 + 0$, $\ 348 = 10\cdot 34 + 8$, $\ 96\,005 = 10\cdot 9600 + 5$.

Представим число $N$ в виде $N = 10\cdot a + b$, где $b$ — последняя цифра.

Слагаемое $10\cdot a$ содержит множитель 10, значит, оно делится на 10 — а раз оно делится на 10, оно делится и на 2, и на 5 (ведь $10 = 2\cdot 5$).

Значит, делимость всей суммы $10\cdot a + b$ на 10, на 2 и на 5 зависит только от второго слагаемого — от цифры $b$, то есть от последней цифры числа $N$.

Раскрой это доказательство по шагам во вкладке «Доказательство» справа.

Кстати, эту же идею можно продолжить: если отделить не одну, а две последние цифры ($N = 100a+b$), получатся признаки делимости на 4, 25 и 100, а если отделить три последние цифры ($N=1000a+b$) — признаки для 8, 125 и 1000. Это интересный факт на будущее, но признаки для 2, 5 и 10 — самые важные и используются чаще всего.

⚠️ Частая ошибка: раз признак по последней цифре так хорошо работает для 2, 5 и 10, ученики иногда решают, что он работает для любого числа — например, «раз число оканчивается на 4, значит, оно делится на 4». Это неверно! Число 14 оканчивается на 4, но $14 : 4 = 3$ (остаток 2) — не делится. Признак по одной последней цифре работает только для делителей числа 10, то есть для 2, 5 и 10. Для делимости на 4 нужно смотреть уже на две последние цифры числа.

🧠 Запомни:

$a$ делится на 10 $\Leftrightarrow$ последняя цифра $a$ равна 0.
$a$ делится на 5 $\Leftrightarrow$ последняя цифра $a$ равна 0 или 5.
$a$ делится на 2 $\Leftrightarrow$ последняя цифра $a$ — чётная (0, 2, 4, 6, 8).
Всё это следует из того, что $N = 10a+b$, а $10a$ всегда делится на 10, 2 и 5.

← Глава 2 · §2, п.2 Делимость суммы и разности Все темы Глава 2 · §3, п.2 → Признаки делимости на 3 и на 9

Введи любое число или выбери пример — все три признака проверятся сразу по последней цифре

Нажми на цифру вверху — узнай, какая последняя цифра на что указывает

Докажем все три признака сразу — представим число как $N = 10\cdot a + b$

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится