Основное свойство дроби

Возьмём круг и закрасим в нём $\tfrac12$ — одну половину. Теперь разрежем каждую половину ещё на 5 равных кусочков: всего кусочков стало $10$, а закрашенных — $5$. Значит, закрашена дробь $\tfrac{5}{10}$. Но закрашенная часть круга не изменилась — мы просто по-другому её посчитали! Значит, $\tfrac12 = \tfrac{5}{10}$, хотя числитель и знаменатель второй дроби ровно в $5$ раз больше.

Это верно для любых дробей — можно доказать через связь дроби с делением ($a:b=\tfrac{a}{b}$) и известные свойства: $a:b=(a\cdot n):(b\cdot n)$ и $a:b=(a:n):(b:n)$. Отсюда получается ключевое правило:

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\cdot n}{b\cdot n} = \dfrac{a:n}{b:n}, \quad \text{где } a,b,n \in \mathbb{N}.$$

Убедись в этом сам — двигай множитель во вкладке «Основное свойство» справа: закрашенная часть полоски не меняется, меняется только число делений.

        💡 Из жизни: «половина» и «пять десятых» — одна и та же часть пиццы, просто в первом
        случае её разрезали на 2 куска, а во втором — на 10 более мелких. От того, как считать кусочки, сама пицца
        не меняется.
      

Сокращение дроби

Основное свойство дроби работает и в обратную сторону — дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на общий делитель. Например: $\tfrac{36}{44}=\tfrac{36:4}{44:4}=\tfrac{9}{11}$. Такое преобразование называют сокращением дроби.

Определение. Дробь $\tfrac{9}{11}$ сократить больше нельзя — числа $9$ и $11$ взаимно простые, то есть $\text{НОД}(9,11)=1$. Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называется несократимой.

Чтобы получить несократимую дробь за один шаг, нужно сократить дробь на НОД числителя и знаменателя (см. §4, п.2 «НОД. Взаимно простые числа»). Например, $\text{НОД}(245,15)=5$, поэтому $\tfrac{245}{15}=\tfrac{49}{3}$.

На практике НОД искать не обязательно — можно сокращать дробь последовательно, на простые множители по очереди, помогая себе признаками делимости: $\tfrac{210}{315}=\tfrac{70}{105}=\tfrac{14}{21}=\tfrac{2}{3}$ (сначала на $3$, потом на $5$, потом на $7$). Попробуй сам — открой этот пример во вкладке «Сокращение» и дели дробь шаг за шагом.

Приведение дроби к новому знаменателю

Иногда дробь, наоборот, нужно усложнить — например, чтобы сравнить $\tfrac25$ и $\tfrac{1}{15}$, домножим числитель и знаменатель первой дроби на $3$: $\tfrac25=\tfrac{2\cdot3}{5\cdot3}=\tfrac{6}{15}$. Теперь у обеих дробей знаменатель $15$, и сразу видно: $\tfrac{1}{15}<\tfrac{6}{15}$, значит $\tfrac{1}{15}<\tfrac25$.

Определение. Замену дроби равной ей дробью с новым знаменателем называют приведением дроби к новому знаменателю. Число, на которое домножили числитель и знаменатель, называют дополнительным множителем.

Пример: приведи $\tfrac47$ к знаменателю $56$

Находим дополнительный множитель: $56:7=8$.

Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель: $\tfrac47=\tfrac{4\cdot8}{7\cdot8}=\tfrac{32}{56}$.

Чтобы привести к общему знаменателю сразу несколько дробей, выгоднее всего взять наименьшее общее кратное всех знаменателей (см. §4, п.3 «Наименьшее общее кратное») — тогда числа получатся как можно меньше.

Пример: приведи $\tfrac{11}{6}$, $\tfrac{7}{15}$ и $\tfrac38$ к наименьшему общему знаменателю

Находим НОК знаменателей: $\text{НОК}(6,15,8)=120$.

Находим дополнительный множитель для каждой дроби: $120:6=20$, $120:15=8$, $120:8=15$.

Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель: $\tfrac{11}{6}=\tfrac{220}{120}$, $\tfrac{7}{15}=\tfrac{56}{120}$, $\tfrac38=\tfrac{45}{120}$.

Попробуй сам во вкладке «Общий знаменатель» справа — выбери пару дробей и нажми кнопку приведения.

⚠️ Частая ошибка: «сокращать» дробь вычитанием одного и того же числа из числителя и знаменателя — например, думать, что $\tfrac{6-2}{10-2}=\tfrac{4}{8}$ равно $\tfrac{6}{10}$. Это неверно: $\tfrac{6}{10}=0{,}6$, а $\tfrac48=0{,}5$ — дроби разные! Основное свойство дроби работает только для умножения и деления числителя и знаменателя на одно и то же число, а не для сложения и вычитания.

🧠 Запомни:

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot n}{b\cdot n}=\dfrac{a:n}{b:n}$$
Только умножение и деление, никогда сложение/вычитание.
Сокращение — деление числителя и знаменателя на общий делитель; несократимая дробь — когда НОД числителя и знаменателя равен $1$.
Быстрее всего сократить дробь сразу на НОД числителя и знаменателя.
Приведение к знаменателю — умножение на дополнительный множитель; для нескольких дробей общий знаменатель ищут через НОК.

← Глава 3 · §1, п.1 Натуральные числа и дроби Все темы Глава 3 · §1, п.3 → Сравнение дробей

Меняй дробь и множитель — закрашенная часть полоски не меняется

Множитель n:

Дели числитель и знаменатель на общие множители, пока дробь не станет несократимой

Разделить на:

Выбери пару дробей — узнай НОК знаменателей и приведи обе дроби к нему

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится