Представь пиццу, разрезанную на $8$ одинаковых кусков. Если ты съел $3$ куска, а твой друг — ещё $2$ таких
же куска, то вместе вы съели $3+2=5$ кусков, то есть $\tfrac38$
пиццы. Знаменатель не меняется — ведь размер каждого куска остался прежним, изменилось только число
съеденных кусков. Точно так же работает и вычитание.
Правило. Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить
(вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним:
$$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}, \qquad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c} \;\; (a \ge b).$$
Условие $a \ge b$ для вычитания понятно: нельзя съесть больше кусков, чем есть в наличии — из меньшего
числа кусков нельзя вычесть большее.
$\tfrac79 - \tfrac49 = \tfrac{7-4}{9} = \tfrac39 = \tfrac13$ — после вычитания дробь ещё и сократили.
Попробуй сам во вкладке «Одинаковый знаменатель» справа —
переключай примеры и смотри, как закраска полосок складывается или убывает.
Дроби с разными знаменателями
А что делать, если знаменатели разные — например, нужно сложить $\tfrac56$ и $\tfrac34$? Числители сразу
складывать нельзя: доли-то разного размера! Сначала обе дроби нужно привести к одинаковому
знаменателю — это делается на основании основного свойства дроби (см. §1, п.2), которое мы уже
изучили.
Пример: сложи $\tfrac56$ и $\tfrac34$
1
Приводим обе дроби к общему знаменателю $bd=6\cdot4=24$: $\tfrac56=\tfrac{5\cdot4}{6\cdot4}=\tfrac{20}{24}$, $\tfrac34=\tfrac{3\cdot6}{4\cdot6}=\tfrac{18}{24}$.
2
Складываем дроби с одинаковым знаменателем: $\tfrac{20}{24}+\tfrac{18}{24}=\tfrac{38}{24}=\tfrac{19}{12}=1\tfrac{7}{12}$.
Сформулируем это правило на математическом языке. Пусть даны дроби $\tfrac{a}{b}$ и $\tfrac{c}{d}$, где
$a,b,c,d \in \mathbb{N}$. Общим знаменателем для них всегда можно взять произведение $bd$ — оно делится и на
$b$, и на $d$:
Общее правило сложения и вычитания дробей.
$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad+bc}{bd}, \qquad
\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} - \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad-bc}{bd}.$$
Вычитание возможно только тогда, когда $ad-bc \ge 0$.
Проверь общее правило сам во вкладке «Разные знаменатели»
справа — выбери пару дробей и посмотри, как обе полоски дорастают до общего знаменателя $bd$.
💡 Важное замечание. Знаменатель $bd$ далеко не всегда является наименьшим общим
знаменателем — просто он гарантированно подходит для любой пары дробей. Поэтому на практике часто выгоднее
находить наименьшее общее кратное знаменателей (см. §1, п.2 «Основное свойство дроби»): дополнительные
множители получаются меньше, и вычисления — проще.
Свойства сложения и вычитания дробей
Для дробей верны те же свойства действий, что и для натуральных чисел — переместительное и сочетательное
свойства сложения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Их удобно использовать, чтобы
упростить вычисления: сначала сложить или сократить то, что складывается «красиво», а
остальное — потом.
В обоих примерах слагаемые переставили и сгруппировали так, чтобы получить «удобные» пары — целое число или
ноль — прежде чем считать всё остальное.
⚠️ Частая ошибка: складывать (вычитать) дроби «крест-накрест», то есть отдельно числители и
отдельно знаменатели, даже когда знаменатели разные. Например, думать, что
$\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{1+1}{2+3}=\tfrac25$. Это неверно: $\tfrac12+\tfrac13=\tfrac36+\tfrac26=\tfrac56$, а
$\tfrac56 \ne \tfrac25$. Складывать числители напрямую можно только тогда, когда у дробей
одинаковый знаменатель — а иначе сначала нужно привести дроби к общему знаменателю.
🧠 Запомни:
Одинаковые знаменатели: $$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$$ — складываем/вычитаем только числители.
Разные знаменатели: сначала приводим дроби к общему знаменателю $bd$, потом действуем как с одинаковыми.
Общая формула: $$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd};$$ для вычитания нужно $ad\ge bc$.
Ответ приводят к несократимому виду, а из неправильной дроби выделяют целую часть.