Сложение и вычитание дробей

Дроби с одинаковыми знаменателями

Представь пиццу, разрезанную на $8$ одинаковых кусков. Если ты съел $3$ куска, а твой друг — ещё $2$ таких же куска, то вместе вы съели $3+2=5$ кусков, то есть $\tfrac38$ пиццы. Знаменатель не меняется — ведь размер каждого куска остался прежним, изменилось только число съеденных кусков. Точно так же работает и вычитание.

Условие $a \ge b$ для вычитания понятно: нельзя съесть больше кусков, чем есть в наличии — из меньшего числа кусков нельзя вычесть большее.

Попробуй сам в блоке «Одинаковый знаменатель» справа — переключай примеры и смотри, как закраска полосок складывается или убывает.

Дроби с разными знаменателями

А что делать, если знаменатели разные — например, нужно сложить $\tfrac56$ и $\tfrac34$? Числители сразу складывать нельзя: доли-то разного размера! Сначала обе дроби нужно привести к одинаковому знаменателю — это делается на основании основного свойства дроби, которое мы уже изучили.

Сформулируем это правило на математическом языке. Пусть даны дроби $\tfrac{a}{b}$ и $\tfrac{c}{d}$, где $a,b,c,d \in \mathbb{N}$. Общим знаменателем для них всегда можно взять произведение $bd$ — оно делится и на $b$, и на $d$:

Проверь общее правило сам в блоке «Разные знаменатели» справа — выбери пару дробей и посмотри, как обе полоски дорастают до общего знаменателя $bd$.

Свойства сложения и вычитания дробей

Для дробей верны те же свойства действий, что и для натуральных чисел — переместительное и сочетательное свойства сложения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Их удобно использовать, чтобы упростить вычисления: сначала сложить или сократить то, что складывается «красиво», а остальное — потом.

В обоих примерах слагаемые переставили и сгруппировали так, чтобы получить «удобные» пары — целое число или ноль — прежде чем считать всё остальное.