Десятичные и обыкновенные дроби

Два имени одного и того же числа

Дробные числа можно записывать двумя способами: «со знаменателем» (например, $2\tfrac12$) и «с запятой» (например, $2{,}5$). Первый способ мы назвали обыкновенной дробью, второй — десятичной. Слово «десятичная» здесь не означает «необычная» или «сложная» — это те же самые обыкновенные дроби, только со стандартным знаменателем вида $10^n$ и записанные не «в два этажа», а в строчку.

Определение. Десятичные и обыкновенные дроби — это две различные системы записи чисел. Одно и то же число может иметь несколько «имён» — и в той, и в другой системе. Например, $2\tfrac12$ и $2{,}5$ — это два разных имени одного и того же числа. Именно это записывают равенством $2\tfrac12=2{,}5$.

          💡 Из жизни: одного и того же человека могут звать по-разному — Ваня,
          Ванечка, Иван, Джон, Хуан — но человек от этого не меняется. Так же и число $2{,}5$
          можно назвать «две целых пять десятых», «пять вторых», «два и одна вторая» — это всё
          разные имена одного и того же числа. Причём в каждой системе записи имён бесконечно
          много: $2\tfrac12=\tfrac52=\tfrac{10}{4}=\ldots$, а $2{,}5=2{,}50=2{,}500=\ldots$ —
          нули, дописанные справа после последней значащей цифры, значение дроби не меняют.
        

Поскольку десятичная дробь — это просто другая запись того же числа, для неё работают все привычные свойства действий: переместительное, сочетательное, распределительное — ровно так же, как для обыкновенных дробей и натуральных чисел.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Если целая часть десятичной дроби равна нулю, перевод получается простым прочтением дроби без слов «ноль целых» — например, $0{,}0082=\tfrac{82}{10000}$. В общем случае действует правило:

Чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно отбросить в её записи запятую и поставить получившееся натуральное число в числитель, а в знаменатель — единицу со столькими нулями, сколько было знаков после запятой.

$0{,}37=\tfrac{37}{100}$ · $2{,}73=\tfrac{273}{100}$ · $3{,}500=\tfrac{3500}{1000}$ · $7{,}056=\tfrac{7056}{1000}$

Если в числителе цифр не хватает, чтобы получилось столько же цифр, сколько нулей в знаменателе, недостающие нули дописывают слева. Например, дробь $0{,}38$ читаем «отбрасываем запятую» — получаем «038», а лишний ноль слева просто убираем: $0{,}38=\tfrac{038}{100}=\tfrac{38}{100}$.

⚠️ Частая ошибка. Число нулей в знаменателе равно числу цифр после запятой в исходной дроби — а не числу цифр в самом числителе после того, как лишние нули слева убрали. Например, в дроби $0{,}0082$ после запятой стоит четыре цифры (0, 0, 8, 2), значит в знаменателе четыре нуля — $10000$, хотя в итоговом числителе после сокращения лишних нулей осталось только две цифры: $82$.

А можно ли перевести обратно любую обыкновенную дробь?

Мы научились превращать десятичную дробь в обыкновенную. А верно ли обратное — можно ли любую обыкновенную дробь привести к знаменателю $10^n$ и записать десятичной? Оказывается, нет: контрпример — дробь $\tfrac13$.

Докажем, что $\tfrac13$ нельзя записать в виде конечной десятичной. Рассуждаем от противного:

1

Предположим, что $\tfrac13=\tfrac{a}{10^n}$ для каких-то натуральных $a$ и $n$.

2

Тогда $3a=10^n$. Но левая часть делится на $3$, а правая — нет (у степеней десятки среди простых делителей есть только $2$ и $5$).

3

Получили противоречие. Значит, предположение неверно: $\tfrac13$ нельзя записать конечной десятичной дробью.

Это рассуждение работает для любой несократимой дроби: если в разложении её знаменателя на простые множители есть число, отличное от $2$ и $5$, — перевести в конечную десятичную не получится. А вот если знаменатель содержит только $2$ и $5$ — дробь всегда можно домножить на недостающие двойки или пятёрки, чтобы уравнять их количество, и знаменатель превратится в степень десяти. Например: $\tfrac{7}{125}=\tfrac{7\cdot2^3}{125\cdot2^3}=\tfrac{56}{1000}=0{,}056$.

Общее доказательство (если знаменатель — только 2 и 5)

1

Пусть несократимая дробь $\tfrac{p}{q}$, где $q=2^a\cdot5^b$ (двоек и пятёрок может быть и по нулю).

2

Если $a=b$ — двойки и пятёрки уже уравновешены, перемножив их попарно, получаем $q=10^a$, дробь сразу переводится в десятичную.

3

Если, например, $a\lt b$, домножаем числитель и знаменатель на $2^{b-a}$ — дробь не меняется, а число двоек и пятёрок в знаменателе становится одинаковым.

🧠 Запомни:

Десятичные и обыкновенные дроби — два разных способа записи одних и тех же чисел.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную: убрать запятую → это числитель; в знаменатель — единица с числом нулей, равным числу цифр после запятой.
Несократимую дробь можно записать конечной десятичной тогда и только тогда, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме $2$ и $5$.
Если делитель есть другой (например $3$, $7$, $11$) — конечной десятичной записи не существует, как у дроби $\tfrac13$.

Десятичные и обыкновенные дроби

Два имени одного и того же числа

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

А можно ли перевести обратно любую обыкновенную дробь?

Закрепи в практике