Приближённые равенства. Округление чисел

Знак «примерно» — приближённое равенство

Известно, что в России сейчас проживает примерно 142 миллиона человек. Число это постоянно меняется — люди рождаются, умирают, — но мы точно можем сказать, что оно заведомо не равно, скажем, 237 875 226 или 45 987 567 — эти числа «слишком сильно» отличаются от 142 000 000.

Для слов «примерно», «приближённо» в математике используют специальный знак $\approx$ — знак приближённого равенства. Если обозначить число жителей России буквой $P$, короткая запись выглядит так:

$P\approx142\,000\,000$

Определение. Равенство называется приближённым, если одна из его частей заменена не точным, а близким к нему, более удобным числом. Результаты почти всех практических измерений — расстояний, промежутков времени, объёмов — приближённые, поэтому приближёнными являются и многие равенства, которые их описывают.

        💡 Из жизни: с приближёнными равенствами мы уже встречались в начальной
        школе, делая прикидку результата — заменяя числа более удобными круглыми,
        чтобы быстро оценить порядок ответа и не ошибиться в вычислениях на порядок. Например,
        заменив $618\,344$ и $8356$ круглыми числами, легко убедиться, что их частное — примерно
        $80$, а не $8$ и не $800$:
      

$618\,344:8356\approx640\,000:8000=80$

Поэтому в математике есть правила округления — они позволяют заменять число ближайшим к нему «круглым» числом с наибольшей возможной точностью. Разберёмся, как они устроены.

Как округлить натуральное число

Каким круглым числом — с одним нулём на конце — лучше заменить число $2583$? Ясно, что $2580<2583<2590$, то есть $2583$ можно заменить либо на $2580$, либо на $2590$. Эти два числа называют приближениями числа $2583$: первое — с недостатком, второе — с избытком.

Цифра единиц в числе $2583$ — это $3$, а $3<5$, значит $2583$ расположено ближе к $2580$ (на $3$ единицы от него, и на $7$ единиц — от $2590$). Поэтому точнее заменить числом-недостатком:

$2583\approx2580$ (с точностью до десятков).

Такое же рассуждение работает и для сотен, тысяч и любых других разрядов — близость определяет цифра, стоящая сразу за разрядом округления: если она меньше $5$, берут приближение с недостатком, если $5$ или больше — с избытком. Так, $2583\approx2600$ (с точностью до сотен) — ведь за разрядом сотен идёт цифра $8$, а она больше $5$. А вот за разрядом тысяч в числе $2583$ стоит «серединная» цифра $5$: число $2500$ находится ровно посередине между границами $2000$ и $3000$, но $83$ «лишних» единицы склоняют число ближе к верхней границе, поэтому $2583\approx3000$ (с точностью до тысяч).

Чтобы правило работало без исключений, для «ровно посередине» условились всегда брать верхнюю границу, например $2500\approx3000$ (с точностью до тысяч).

Округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями, а цифру данного разряда определить по правилу:

если цифра, следующая за разрядом округления, меньше $5$ — цифру разряда оставляют без изменений;
если эта цифра $5$ или больше — цифру разряда увеличивают на $1$.

Пример 1. Округли $58\,492$ с точностью до тысяч. За разрядом тысяч следует цифра $4$, а $4<5$, значит цифру $8$ в разряде тысяч не меняем, а всё младшее заменяем нулями: $58\,492\approx58\,000$.

⚠️ Частая ошибка. Решает округление не сама цифра разряда, до которого округляем, а следующая за ней цифра (на один разряд младше). Например, в числе $2583$ округляя до сотен, ошибочно смотрят на цифру сотен ($5$) вместо настоящей решающей цифры — цифры десятков ($8$). Смотреть нужно на один шаг правее разряда округления, а не на сам этот разряд.

Округление десятичных дробей

Десятичные дроби округляют по тем же правилам. Разница лишь в том, что цифры младших разрядов не заменяют нулями, а просто отбрасывают — ведь это не меняет величины десятичной дроби.

Пример 2. Округли дробь $37{,}15803$ с точностью до разных разрядов:

а) $37{,}15803\approx37$ (до единиц) · б) $37{,}15803\approx37{,}2$ (до десятых)
в) $37{,}15803\approx37{,}16$ (до сотых) · г) $37{,}15803\approx37{,}158$ (до тысячных)
д) $37{,}15803\approx37{,}1580$ (до десятитысячных)

⚠️ Частая ошибка. В последнем примере «лишний» ноль в ответе $37{,}1580$ отбрасывать нельзя, хотя он и не меняет величины дроби — именно он показывает, до какого разряда выполнено округление (до десятитысячных, а не до тысячных).

Округление помогает и когда обыкновенную дробь нельзя перевести в конечную десятичную — тогда её заменяют ближайшей десятичной дробью с нужной точностью.

Пример 3. Замени дробь $\tfrac{19}{6}$ десятичной дробью с точностью до сотых.

Делим числитель на знаменатель уголком, продолжая деление и после запятой: $19:6=3{,}166\ldots$ — цифра $6$ в частном повторяется бесконечно.

Округляем нужно до сотых, поэтому достаточно трёх цифр после запятой — смотрим на цифру, следующую за разрядом сотых: это цифра тысячных, $6$.

Так как $6\geq5$, цифру сотых увеличиваем на $1$: $3{,}166\ldots\approx3{,}17$. Значит, $\tfrac{19}{6}\approx3{,}17$ с точностью до $0{,}01$.

Чтобы записывать любые дроби в виде десятичных без округления, в математике используют бесконечные десятичные дроби. Так как при делении $19$ на $6$ цифра $6$ повторяется бесконечно, пишут $\tfrac{19}{6}=3{,}1(6)$ — читают «три целых, одна десятая и шесть в периоде». Аналогично: $\tfrac49=0{,}(4)$; $\ \tfrac56=0{,}8(3)$.

🧠 Запомни:

$\approx$ — знак приближённого равенства; решающая цифра — та, что стоит сразу после разряда округления.
Меньше $5$ — округляем «вниз» (цифра разряда не меняется); $5$ или больше — «вверх» (цифра разряда увеличивается на $1$).
У натуральных чисел младшие разряды заменяют нулями; у десятичных дробей — отбрасывают.
Если после округления в конце дроби остаётся ноль (например, $37{,}1580$) — его нельзя отбрасывать: он показывает точность округления.

← Глава 4 · §1, п.2 Десятичные и обыкновенные дроби Все темы Глава 4 · §1, п.4 → Сравнение десятичных дробей

Наведи курсор на подчёркнутые равенства в тексте слева — интерактив сам подстроится