Перевод условия задачи на математический язык

Три этапа решения задачи

Роман выбрал в магазине карандаш за 27 рублей и ручку, которая стоила в 2 раза дороже. Какую сдачу получит мальчик, если расплатится за эту покупку купюрой в 100 рублей?

Сдача — это то, что останется от 100 рублей после покупки. Карандаш стоит 27 рублей, а ручка — $27\cdot 2$ рублей. Значит, сдача равна $(100 - 27 - 27\cdot 2)$ рублей.

Чтобы решить любую задачу, нужно пройти три этапа:

Перевод. Условие задачи переводится с обычного, «человеческого» языка на математический язык — получается математическая модель задачи.

Работа с моделью. С полученным выражением или равенством производят вычисления, чтобы найти ответ.

Проверка. Проверяют, соответствует ли найденный ответ смыслу задачи в реальной жизни.

В этом пункте мы учимся только первому этапу — переводу условия на математический язык.

Что такое математическая модель

Математическая модель задачи — выражение или равенство, которое получается при переводе условия задачи с обычного языка на математический.

Выражение $(100 - 27 - 27\cdot 2)$ — математическая модель задачи про Романа. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти значение этого выражения.

У одной и той же задачи может быть несколько разных, но верных моделей. Например, для той же задачи можно записать и так: $100 - (27 + 27\cdot 2)$.

        💡 Из жизни: на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша — всего фруктов
        $2+2+1=5$. По расписанию два урока русского языка, две математики и география — всего уроков
        тоже $2+2+1=5$. Задачи совсем разные, а математическая модель — одна и та же: мы складываем
        не фрукты и не уроки, а натуральные числа.
      

Обозначаем неизвестное буквой

В соревнованиях по плаванию участвовало 60 детей, причём мальчиков было в 3 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?

Составить числовое выражение здесь нельзя — неизвестно ни число мальчиков, ни число девочек. Поэтому неизвестную величину обозначают буквой.

Пусть $x$ — число девочек. Тогда $3x$ — число мальчиков, а всего участников — $x+3x$.

По условию всего участников 60, значит, равенство $x+3x=60$ — математическая модель этой задачи. Чтобы ответить на вопрос, нужно найти неизвестное число $x$ из этого равенства.

Таблица для соотношения $a = b\cdot c$

Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой. Площадь участка равна 70 м². Найти размеры этого участка.

Величины «длина», «ширина» и «площадь» связаны соотношением $a=b\cdot c$ (площадь = длина × ширина). Для таких задач удобно строить таблицу: в неё вписывают то, что известно, и то, что обозначено буквой.

	Длина	Ширина	Площадь
м, м²	$(x+3)$	$x$	$x(x+3)$, или $70$

Значит, $x(x+3)=70$ — математическая модель этой задачи: значение $x$, которое ей удовлетворяет, и есть ширина участка.

Если неизвестных величин несколько, в таблицу добавляют ещё одну букву. Например, в задаче про школьный автобус (252 ученика, в большом автобусе на 6 человек больше, чем в маленьком, и автобусов на один меньше) удобно обозначить второй буквой число детей в одном автобусе — тогда модель состоит из двух равенств сразу.

Единицы массы в переводе задач

В задачах о массе часто встречаются сразу несколько единиц: тонна (т), центнер (ц), килограмм (кг) и грамм (г). Они связаны цепочкой:

$1\text{ т} = 10\text{ ц} = 1000\text{ кг} = 1\,000\,000\text{ г}$

Например, «количество килограммов в $a$ центнерах» переводится на математический язык как $100a$ (в одном центнере 100 кг), а «количество граммов в $n$ килограммах» — как $1000n$.

⚠️ Частая ошибка: при переводе задачи с массой данные оставляют в разных единицах измерения — например, складывают тонны и центнеры напрямую, как будто это одно и то же число. Прежде чем записывать равенство, все величины нужно перевести в одну и ту же единицу (обычно — в самую мелкую из встречающихся).

🧠 Запомни:

Перевод условия на математический язык — это первый из трёх этапов решения задачи.
Математическая модель — выражение или равенство, а у одной задачи их может быть несколько.
Неизвестную величину обозначают буквой; если неизвестных несколько — разными буквами.
Для соотношения «длина × ширина = площадь» ($a=b\cdot c$) удобно строить таблицу.
Все величины в равенстве должны быть выражены в одной и той же единице измерения.

← Глава 1 · §1, п.2 Значение выражения Все темы Глава 1 · §2, п.2 → Работа с математическими моделями

На сколько метров одна сторона больше другой? Площадь участка — 70 м²

	Длина	Ширина	Площадь
м, м²	x + 3	x	x(x + 3), или 70

$x(x+3)=70$

Это и есть математическая модель задачи про участок земли

	Большие	Маленькие
Автобусов	x	x + 1
Детей в 1 автобусе	252 : x	252 : (x+1)
Всего детей	252	252

$252 : x - 252 : (x+1) = 6$

252 ученика, в большом автобусе на 6 детей больше

$m$ на 5 больше, чем $n$

$m = n + 5$

$c$ в 7 раз меньше, чем $d$

$c = d : 7$

$a$ на 9 меньше, чем $b$

$a = b - 9$

$x$ в 3 раза больше, чем $y$

$x = 3y$

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится