5 класс · Математический язык

Работа с математическими моделями

Второй этап решения задачи

          💡 Из жизни: Юный французский математик Симеон Дени Пуассон решал такую
          загадку: есть 12 пинт мёда, нужно отлить ровно половину — 6 пинт, но сосуда на 6 пинт нет.
          Есть только сосуд на 8 пинт и сосуд на 5 пинт. Как отмерить 6 пинт мёда, переливая только
          между этими тремя сосудами?
        

Заметь: в этой загадке нет буквенного выражения, которое нужно перевести — условие уже превращено в математическую задачу («заполнили», «отлили», «сколько осталось»). Здесь работа идёт не над переводом, а над самой моделью — переливаниями, вычислениями, рассуждениями. Именно этому мы учимся в этом пункте.

Напомним три этапа решения задачи из прошлой темы: перевод условия на математический язык → работа с моделью (вычисления, преобразования, рассуждения) → проверка ответа. Модели двух задач из прошлого пункта уже готовы — осталось их решить.

Пример 1. Готовую модель просто вычисляют

Роман купил карандаш за 27 рублей и ручку в 2 раза дороже, расплатился купюрой в 100 рублей. Модель задачи — выражение $100 - 27 - 27\cdot 2$.

Чтобы найти сдачу, достаточно знать порядок действий и уметь считать:

$100 - 27 - 27\cdot 2 = 100 - 27 - 54 = 19$

Ответ: Роман получит сдачу 19 рублей. Здесь хватило обычных вычислений — новых приёмов не понадобилось.

Пример 2. Модель нужно преобразовать

В соревнованиях по плаванию участвовало 60 детей, мальчиков было в 3 раза больше, чем девочек. Пусть $x$ — число девочек, тогда $3x$ — число мальчиков. Модель задачи — равенство $x + 3x = 60$.

Такое равенство мы раньше не решали. Но его можно преобразовать, используя два известных свойства чисел — свойство единицы ($1\cdot x = x$) и распределительное свойство умножения:

1

$x + 3x = 1\cdot x + 3\cdot x$ — записали $x$ как $1\cdot x$ (свойство единицы).

2

$1\cdot x + 3\cdot x = (1+3)\cdot x$ — вынесли общий множитель $x$ (распределительное свойство).

3

$(1+3)\cdot x = 4x$, значит $4x = 60$, откуда $x = 60 : 4 = 15$.

Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек, а мальчиков — $3x = 45$. Чем больше свойств чисел мы знаем, тем короче и проще получается решение.

Свойства арифметических действий

В примере выше нам помогли свойства сложения и умножения. Они верны для любых чисел и позволяют упрощать выражения, не меняя их значения.

Переместительное свойство: от перестановки слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется. $$a+b=b+a \qquad ab = ba$$

Сочетательное свойство: слагаемые (множители) можно группировать любым способом. $$(a+b)+c = a+(b+c) \qquad (ab)c = a(bc)$$

Распределительное свойство: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты. $$(a+b)c = ac + bc$$

Этими же свойствами удобно упрощать выражения вида $6b+2b$: коэффициенты складываются, а буква остаётся одна — $6b+2b = (6+2)b = 8b$.

Множества и диаграммы Эйлера — Венна

Иногда математическая модель задачи — не выражение, а множество.

Множество — совокупность объектов (чисел, фигур, предметов), называемых элементами множества. Множество записывают, перечисляя элементы в фигурных скобках. Если элемент $x$ принадлежит множеству $A$, пишут $x \in A$, если не принадлежит — $x \notin A$.

Например, множество делителей числа 12 — это $A = \{1,2,3,4,6,12\}$, а множество делителей числа 18 — $B = \{1,2,3,6,9,18\}$. Тогда $4 \in A$, но $4 \notin B$.

Множества принято изображать кругами (диаграммами Эйлера — Венна): если у множеств есть общие элементы, круги накладываются друг на друга.

Пересечение $A \cap B$ — множество элементов, принадлежащих сразу обоим множествам. Объединение $A \cup B$ — множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств. Если каждый элемент множества $A$ принадлежит и множеству $B$, говорят, что $A$ — подмножество $B$, и пишут $A \subset B$.

Для наших множеств $A \cap B = \{1,2,3,6\}$ — числа, которые делят и 12, и 18 одновременно.

⚠️ Частая ошибка: путают знаки $\in$ и $\subset$. Знак $\in$ ставится между элементом (одним числом) и множеством: $4 \in A$. Знак $\subset$ ставится между двумя множествами: $\{1,2,3\} \subset A$. Писать $4 \subset A$ или $\{1,2\} \in A$ — ошибка: слева от $\in$ должен стоять один элемент, а не множество.

🧠 Запомни:

Работа с моделью — второй из трёх этапов решения задачи: перевод → работа с моделью → проверка.
Если модель — выражение известного вида, её просто вычисляют по порядку действий.
Если модель — уравнение нового вида, его сначала преобразуют с помощью свойств арифметических действий (переместительного, сочетательного, распределительного).
Множество — совокупность элементов, записывается в фигурных скобках; $\in$ — «элемент принадлежит множеству», $\subset$ — «множество является подмножеством».
Диаграмма Эйлера — Венна показывает пересечение $\cap$ и объединение $\cup$ множеств.