Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Умножение на 10, 100, 1000… — двигаем запятую вправо

Умножать и делить натуральные числа на $10$, $100$, $1000$ и т. д. просто: достаточно приписать или отбросить нужное число нулей. Это работает потому, что наша система записи чисел — десятичная: каждый следующий разряд ровно в $10$ раз меньше предыдущего.

Десятичные дроби устроены точно так же — а значит, для них тоже должно быть похожее правило. Только вместо приписывания нулей к целому числу здесь «двигается» сама запятая.

        💡 Из жизни: представь линейку с делениями в сантиметрах — $0{,}1$ м $=1$ дм.
        Чтобы перевести метры в дециметры (то есть увеличить число в $10$ раз), не нужно ничего
        пересчитывать заново — просто мысленно «сдвигаешь» запятую на одну позицию.
      

Проверим на примере. Переведём $2{,}75$ в обыкновенную дробь и умножим на $10$, $100$, $1000$:

$2{,}75\cdot 10=\tfrac{275}{100}\cdot 10=\tfrac{275}{10}=27{,}5$

Похожим способом $2{,}75\cdot 100=275$, а $2{,}75\cdot 1000=2750$. Легко заметить закономерность — запятая последовательно сдвигается на $1$, $2$, $3$ разряда вправо (удобно представлять, что у $2{,}75$ «в запасе» всегда есть невидимые нули: $2{,}75=2{,}7500\ldots$).

Правило. При умножении десятичной дроби на $10$, $100$, $1000,\ \ldots$ запятая переносится вправо на столько разрядов, сколько нулей в множителе. Если цифр не хватает — справа дописываются нули.

Пример 1. Вычисли $2{,}75\cdot 10$. Один ноль в множителе — запятая сдвигается на $1$ разряд вправо: $2{,}75\cdot 10=27{,}5$.

Пример 2. Вычисли $2{,}75\cdot 1000$. Три нуля в множителе — запятая сдвигается на $3$ разряда вправо. Своих цифр после запятой у $2{,}75$ всего две, поэтому третий разряд придётся дописать нулём: $2{,}75\cdot 1000=2750$.

Деление на 10, 100, 1000… и общий алгоритм

Деление — действие, обратное умножению. Поэтому при делении на $10$, $100$, $1000$ и т. д. запятая перемещается не вправо, а влево — на столько же разрядов. А если своих цифр не хватает, дописываем нужное число нулей уже слева:

$2{,}75:100=002{,}75:100=0{,}0275$

Правило. При делении десятичной дроби на $10$, $100$, $1000,\ \ldots$ запятая переносится влево на столько разрядов, сколько нулей в делителе. Если цифр не хватает — слева дописываются нули.

Пример 3. Вычисли $2{,}75:10$. Один ноль в делителе — запятая сдвигается на $1$ разряд влево, а поскольку целая часть у $2{,}75$ состоит всего из одной цифры, она «исчезает», и на её месте появляется $0$: $2{,}75:10=0{,}275$.

Пример 4. Вычисли $2{,}75:1000$. Три нуля в делителе — запятая сдвигается на $3$ разряда влево. Своей цифры целой части хватает только на один разряд, поэтому слева дописываются ещё два нуля: $2{,}75:1000=0{,}00275$.

Посчитать нули в множителе/делителе — это и есть число разрядов, на которые сдвинется запятая.

При умножении — сдвинуть запятую вправо, при делении — влево.

Если своих цифр для сдвига не хватает — дописать нужное число нулей (справа при умножении, слева при делении).

Лишние нули в начале целой части и в конце дробной части в ответе не пишутся (кроме одного нуля, если целая часть стала пустой).

⚠️ Частая ошибка. Путать направление сдвига запятой — например, при умножении сдвигать запятую влево вместо вправо. Также часто забывают дописать недостающие нули и просто «теряют» разряд: $2{,}75\cdot 1000$ по ошибке считают как $275{,}0$ (сдвинули только на $2$ разряда вместо $3$). Чтобы не ошибиться — всегда сначала посчитай число нулей у множителя (делителя), и только потом сдвигай запятую ровно на столько разрядов.

Умножение и деление на 0,1; 0,01; 0,001…

Раз $0{,}1=\tfrac{1}{10}$, то умножение на $0{,}1$ — это то же самое, что деление на $10$, а деление на $0{,}1$ — то же самое, что умножение на $10$:

$a\cdot 0{,}1=a\cdot\tfrac{1}{10}=a:10\qquad a:0{,}1=a:\tfrac{1}{10}=a\cdot 10$

Поэтому правило для запятой здесь получается противоположным тому, что было для $10$, $100$, $1000$.

Правило. При умножении десятичной дроби на $0{,}1$; $0{,}01$; $0{,}001,\ \ldots$ запятая переносится влево (как при делении на $10$, $100$, $1000$). При делении на эти числа — вправо (как при умножении на $10$, $100$, $1000$). Число разрядов сдвига равно числу цифр после запятой у множителя (делителя).

Пример 5. Вычисли $48{,}03\cdot 0{,}01$. У $0{,}01$ две цифры после запятой — запятая сдвигается на $2$ разряда влево: $48{,}03\cdot 0{,}01=0{,}4803$.

Пример 6. Вычисли $25{,}6:0{,}001$. У $0{,}001$ три цифры после запятой — запятая сдвигается на $3$ разряда вправо, недостающие разряды дописываются нулями: $25{,}6:0{,}001=25\,600$.

🧠 Запомни:

$\times\,10,100,1000,\ldots$ — запятая вправо.
$:\,10,100,1000,\ldots$ — запятая влево.
$\times\,0{,}1;\,0{,}01;\,0{,}001,\ldots$ — запятая влево (как при делении).
$:\,0{,}1;\,0{,}01;\,0{,}001,\ldots$ — запятая вправо (как при умножении).
Число разрядов сдвига = число нулей у $10,100,1000,\ldots$ или число цифр после запятой у $0{,}1;\,0{,}01;\,0{,}001,\ldots$; недостающие цифры дописываются нулями.

← Глава 4 · §2, п.1 Сложение и вычитание десятичных дробей Все темы Глава 4 · §2, п.3 → Умножение десятичных дробей

Наведи курсор на подчёркнутые числа в тексте слева — интерактив сам подстроится