Умножение десятичных дробей — Математика, 5 класс

Как перемножить десятичные дроби

Десятичная дробь — это просто другая запись обыкновенной дроби со знаменателем $10$, $100$, $1000,\ldots$. Значит, умножать десятичные дроби можно точно так же, как обыкновенные — через переход к обыкновенным дробям. Вычислим, например, произведение $3{,}21\cdot 2{,}6$:

$3{,}21\cdot 2{,}6=\tfrac{321}{100}\cdot\tfrac{26}{10}=\tfrac{321\cdot 26}{1000}=\tfrac{8346}{1000}=8{,}346$

Умножение десятичных дробей свелось к умножению натуральных чисел $321$ и $26$ — тех самых, что получаются, если в множителях просто отбросить запятые. А число знаков после запятой в ответе оказалось равно $3$ — ровно столько, сколько было знаков после запятой у $3{,}21$ и $2{,}6$ вместе ($2+1=3$).

Правило умножения десятичных дробей.

Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся натуральные числа.
В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой, сколько их было в обоих множителях вместе.

Умножают десятичные дроби так же, как натуральные числа — «в столбик», совсем не глядя на запятые во время самого умножения. Запятая расставляется только в самом конце, уже в готовом ответе.

        💡 Из жизни: представь, что ты умножаешь цену на количество, но забыл, где
        стоят запятые — просто перемножь числа как целые, а потом «на глаз» прикинь, сколько должно
        получиться, и поставь запятую на разумное место. Именно так и работает точное правило —
        только вместо прикидки мы считаем знаки после запятой точно.
      

Считаем знаки после запятой — и не забываем про нули

Пример 1. Вычисли $7{,}12\cdot 4{,}3$. Отбрасываем запятые: $712\cdot 43=30\,616$. У $7{,}12$ два знака после запятой, у $4{,}3$ — один, вместе $3$ знака. Отделяем их справа: $7{,}12\cdot 4{,}3=30{,}616$.

Иногда цифр в произведении натуральных чисел не хватает, чтобы отделить нужное число знаков — тогда, как и при сложении/делении десятичных дробей, слева дописываются нули.

Пример 2. Вычисли $0{,}712\cdot 0{,}0043$. Отбрасываем запятые: $712\cdot 43=30\,616$. Знаков после запятой нужно отделить $3+4=7$, а в числе $30616$ всего $5$ цифр — значит, слева дописываем ещё $2$ нуля: $0{,}712\cdot 0{,}0043=0{,}0030616$.

Отбросить запятые в обоих множителях и перемножить получившиеся натуральные числа «в столбик».

Посчитать, сколько всего знаков после запятой было в обоих множителях вместе — это и есть число знаков после запятой в ответе.

Если цифр в произведении не хватает — дописать нужное число нулей слева, а затем поставить запятую.

Лишние нули в конце дробной части в ответе не пишутся (например, $190{,}4000$ записывают как $190{,}4$).

⚠️ Частая ошибка. Считать знаки после запятой только у одного множителя, забывая про второй — например, в $7{,}12\cdot 4{,}3$ по ошибке отделяют $2$ знака вместо $3$ и получают неверный ответ $306{,}16$. Также часто забывают, что натуральное число (без запятой) даёт $0$ знаков после запятой, но не забывают про сам множитель — например, в примере $0{,}0056\cdot 34000$ у $34\,000$ нет знаков после запятой, а у $0{,}0056$ их четыре, поэтому всего отделяем $4$ знака: $56\cdot 34\,000=1\,904\,000$, отделяем $4$ знака справа — $0{,}0056\cdot 34\,000=190{,}4$ (после отбрасывания лишних нулей в конце).

Где это применяется

Умножение десятичных дробей встречается всюду, где считают деньги, площади, объёмы или состав сплавов.

Пример 3 (проба металла). Пробой драгоценного металла называется число граммов этого металла в $1000$ г сплава — то есть доля металла, записанная десятичной дробью. Золотая цепочка весит $8$ г, золото — $583$-й пробы, значит доля золота равна $0{,}583$. Масса чистого золота в цепочке: $8\cdot 0{,}583$. Отбрасываем запятую у второго множителя ($8$ — целое, у него $0$ знаков после запятой, у $0{,}583$ — три): $8\cdot 583=4664$, отделяем $3$ знака справа — $8\cdot 0{,}583=4{,}664$ г.

🧠 Запомни:

Множители перемножаются «в столбик» как обычные натуральные числа — запятые во время самого умножения не участвуют.
Число знаков после запятой в ответе = сумма чисел знаков после запятой у обоих множителей.
Если цифр не хватает — дописать нули слева перед тем, как ставить запятую.
Лишние нули в конце дробной части ответа отбрасываются.

← Глава 4 · §2, п.2 Умножение и деление на 10, 100, 1000 Все темы Глава 4 · §2, п.4 → Деление десятичных дробей

Наведи курсор на подчёркнутые числа в тексте слева — интерактив сам подстроится