Математика · 6 класс · Глава 1, §1, п.2

Отрицания общих высказываний

Ловушка простого «не»

В прошлой теме мы строили отрицание, добавляя частицу «не» перед сказуемым. Но у общих высказываний — тех, что говорят «все», «каждый», «любой», «всегда» — этот простой приём не работает и может привести к грубой ошибке.

Возьмём высказывание «Все натуральные числа делятся на 3». Если просто поставить «не» перед сказуемым, получим «Все натуральные числа не делятся на 3», то есть «Ни одно натуральное число не делится на 3».

⚠️ Частая ошибка. Оба высказывания оказываются ложными одновременно: исходное ложно (контрпример — число 1, оно не делится на 3), и «упрощённое отрицание» тоже ложно (контрпример — число 3, оно делится на 3). А по закону исключённого третьего такого быть не может: одно из двух высказываний — утверждение и его настоящее отрицание — обязано быть истинным.

Значит, приём «не перед сказуемым» здесь не годится. Нужен другой, надёжный способ.

Надёжный приём: «Неверно, что»

Как и раньше, безопасный способ — приписать спереди слова «Неверно, что», а затем аккуратно переформулировать фразу по-русски.

1
«Неверно, что все натуральные числа делятся на 3».
2
Это означает: не все натуральные числа делятся на 3, то есть некоторые натуральные числа не делятся на 3.
3
Получаем: «Существует хотя бы одно натуральное число, которое не делится на 3». Это и есть верное отрицание.
Наблюдение. Отрицание общего высказывания (со словами «все», «каждый», «любой», «всегда») — это высказывание о существовании (со словами «существует», «есть», «некоторые», «хотя бы один»).

Почему это работает — объяснение

В общем высказывании утверждается, что все рассматриваемые предметы обладают неким свойством. Значит, его отрицание означает: не все предметы обладают этим свойством — то есть существуют предметы, которые этим свойством не обладают.

Та же логика работает и для более хитрых формулировок. Высказывание «Ни один медведь не умеет плавать» означает то же самое, что «Все медведи не умеют плавать» — это тоже общее высказывание. Его отрицание: «Неверно, что все медведи не умеют плавать», то есть «Есть медведи, которые умеют плавать».

Посмотри ещё несколько примеров формулировок — переключай карточки в интерактиве справа, чтобы увидеть исходное высказывание и его отрицание рядом.

Контрпример — доказательство отрицания

Раз отрицание общего высказывания — это высказывание о существовании, то доказать его проще всего одним способом: предъявить конкретный предмет, который не обладает нужным свойством. Такой предмет называют контрпримером.

Определение. Контрпример — это конкретный объект, который опровергает общее высказывание: он удовлетворяет условию высказывания, но не обладает свойством, которое ему приписывается.

Например, для ложного общего высказывания «Любое число, кратное 3, кратно и 9» контрпримером служит число 6: оно кратно 3, но не кратно 9. Одного такого числа хватает, чтобы доказать, что высказывание ложно — попробуй сам найти контрпримеры в интерактиве справа.

💡 Из жизни: контрпример — это как единственное белое пятнышко на «идеально чёрной» вороне: чтобы опровергнуть «Все вороны чёрные», достаточно найти хотя бы одну не чёрную ворону — не нужно проверять всех ворон на свете.

Итог

  • «Не» перед сказуемым в общем высказывании — ошибка: может дать высказывание, которое ложно одновременно с исходным.
  • Надёжный приём — «Неверно, что…», с последующим грамотным переводом на русский язык.
  • Отрицание общего высказывания есть высказывание о существовании.
  • Чтобы доказать, что общее высказывание ложно, достаточно найти один контрпример — конкретный объект, который условию удовлетворяет, а свойству — нет.
🧠 Запомни: «Все $A$ обладают свойством $P$» → отрицание: «Существует хотя бы одно $A$, которое свойством $P$ не обладает».
← Глава 1, §1 · п.1 Понятие отрицания Все темы Глава 1, §1 · п.3 → Отрицания высказываний о существовании

Разбираем общие высказывания одно за другим: смотри, как «все» превращается в «существует»

Общее высказываниеОтрицание (о существовании)

Выбери высказывание и кликни по числу — проверим, годится ли оно в контрпримеры

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится