Понятие отрицания

Спор о том, что верно, а что нет

Когда люди о чём-то спорят, один считает утверждение истинным, а другой — ложным. Несколько веков учёные спорили об утверждении «Солнце вращается вокруг Земли»: всем казалось, что это очевидно, «видно очами». Понадобилось не одно столетие, чтобы Николай Коперник доказал гипотезу, отрицающую это «очевидное» утверждение.

Так бывает и в классе: если ученик написал в контрольной, что $2\cdot3=5$, а учитель перечеркнул это равенство — у них противоположные мнения об одном и том же. Говорят, что утверждения $2\cdot3=5$ и $2\cdot3\ne5$ отрицают друг друга, а каждое из них называют отрицанием другого.

Как построить отрицание: приём «Неверно, что»

Строить отрицание несложно: достаточно в начале высказывания мысленно приписать слова «Неверно, что», а затем переформулировать получившееся так, чтобы оно хорошо звучало по-русски.

Русский язык умеет выражать отрицание и короче — без слов «неверно, что». В слове «является» отрицание превращается в «не является», в равенстве $=$ — в неравенство $\ne$. Чем точнее сформулировано отрицание, тем яснее смысл — это вопрос грамотной, культурной речи, важный и для математики.

Отрицание не зависит от того, знаем ли мы истину

Задача формулировки отрицания — это, по сути, задача из грамматики языка. Для неё не важно, истинно или ложно само высказывание. Например, мы можем сформулировать отрицание предложения «Число 11 111 простое», даже не проверяя, простое ли оно на самом деле — «Число 11 111 не является простым».

Точно так же можно построить отрицание высказывания «Масса Юпитера меньше массы Земли» — «Масса Юпитера не меньше массы Земли», — даже если мы пока не сравнивали эти массы.

Закон исключённого третьего

Если данное высказывание истинно, то его отрицание ложно; а если данное высказывание ложно — его отрицание истинно. Иначе говоря, из двух высказываний — самого утверждения и его отрицания — обязательно истинно одно из них, третьего не дано.

При этом утверждение и его отрицание не могут быть истинными оба одновременно — они противоречат друг другу. Если в рассуждении получилось, что истинны и утверждение, и его отрицание, — значит, где-то допущена ошибка.

Как записывают отрицание на языке математики

Для отрицания используют символ $\lnot$ (похожий на кочергу, читают «не» или «неверно, что»). Отрицание высказывания $a$ записывают как $\lnot a$. Если у высказывания нет буквенного обозначения — знак ставят перед скобками: $\lnot(3\cdot4=16)$.

Иногда отрицание обозначают чертой над буквой: отрицание высказывания $A$ — это $\overline{A}$. А для некоторых знаков есть готовые «отрицательные» символы: вместо $\lnot(3\cdot4=16)$ пишут короче — $3\cdot4\ne16$.

Так же и со знаками сравнения. Если неравенство $a\lt b$ неверно, значит $a$ не меньше $b$ — то есть $a$ или больше, или равно $b$, короче: $a\ge b$. Отрицание неравенства $a\lt b$ означает то же самое, что и неравенство $a\ge b$:

Аналогично для остальных трёх знаков сравнения — переключи вкладку в интерактиве справа, чтобы увидеть все четыре правила и их смысл на числовой прямой.

Итог

• Отрицание высказывания — то, что истинно ровно тогда, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.
• Строится по приёму «Неверно, что…», а затем формулируется по-русски грамотно.
• Не требует знания истинности исходного высказывания.
• Закон исключённого третьего: истинно либо утверждение, либо его отрицание — третьего варианта нет, а вместе истинными они быть не могут.
• Обозначения: $\lnot a$, $\overline{A}$, а для сравнений — готовые знаки $\ne$, $\ge$, $\le$.