Отрицания высказываний о существовании

Идём в обратную сторону

В прошлой теме мы отрицали общие высказывания — со словами «все», «каждый», «любой» — и получали высказывания о существовании. Сейчас задача обратная: у нас есть высказывание о существовании (со словами «существует», «есть», «некоторые», «можно найти»), и нужно построить его отрицание.

Высказывание о существовании утверждает: найдётся хотя бы один предмет с нужным свойством. Если такого предмета не существует, значит верно обратное: ни один из рассматриваемых предметов этим свойством не обладает.

Наблюдение. Отрицание высказывания о существовании (со словами «существует», «есть», «некоторые», «можно найти») — это общее высказывание (со словами «ни один… не» или, что то же самое, «все… не»).

Заметь: словосочетание «ни один… не» само выглядит как отрицание, но по смыслу это общее высказывание — оно говорит сразу обо всех рассматриваемых предметах, просто с частицей «не». Та же мысль звучит и так: «Все рассматриваемые предметы данным свойством не обладают» — менее складно, зато сразу видно, что высказывание общее.

Примеры: от «существует» к «ни один»

Смотри, как одна и та же схема работает на самых разных высказываниях — от птиц до натуральных чисел. Переключай примеры в интерактиве справа, вкладка «Строим отрицание».

«Некоторые птицы умеют плавать» — высказывание о существовании: найдётся хотя бы одна птица-пловец.

Если такой птицы не существует, значит верно: «Ни одна птица не умеет плавать» — это уже общее высказывание, оно говорит обо всех птицах сразу.

Проверяем по факту: пингвины и утки прекрасно плавают, значит исходное высказывание истинно, а его отрицание — ложно. Ровно один из двух вариантов должен быть истинным — так и получилось.

Приём работает и для чисел. Возьмём «Число 563 можно представить в виде $7k$, где $k$ — натуральное число». Отрицание: «Такого $k$ не существует», то есть «Для любого $k \in \mathbb{N}$ верно: $563 \ne 7k$».

Ловушка: не перепутай два разных «существования»

Может показаться, что отрицанием «Некоторые птицы умеют плавать» будет тоже высказывание о существовании — «Некоторые птицы не умеют плавать». Это частая ошибка.

⚠️ Частая ошибка. «Некоторые птицы умеют плавать» и «Некоторые птицы не умеют плавать» — это два разных высказывания о существовании, и оба они могут быть истинными одновременно (утки плавают, страусы — нет). Значит, второе — это не отрицание первого: настоящее отрицание обязано быть ложным, когда исходное высказывание истинно, а тут оба истинны сразу. Верное отрицание — «Ни одна птица не умеет плавать», и оно как раз ложно, раз исходное истинно.

Ошибка возникает из-за слова «не»: кажется, что достаточно просто вставить его в высказывание. Но частица «не» в неправильном месте меняет вид высказывания не туда — вместо перехода к общему высказыванию получается снова высказывание о существовании, только про другое свойство.

Доказать или опровергнуть — одна и та же задача?

Раз высказывание $a$ и его отрицание $\lnot a$ противоположны по истинности — когда одно истинно, второе обязательно ложно, — у любой пары «$a$ и $\lnot a$» есть интересное следствие: некоторые формулировки задач на самом деле требуют одного и того же.

Доказать $a$ означает показать, что $a$ истинно.

Опровергнуть $\lnot a$ означает показать, что $\lnot a$ ложно.

Но $\lnot a$ ложно ровно тогда, когда $a$ истинно (это и есть смысл отрицания) — значит, задачи «Доказать $a$» и «Опровергнуть $\lnot a$» решаются одним и тем же способом: это одна и та же задача, только записанная разными словами.

По той же логике «Доказать $\lnot a$» и «Опровергнуть $a$» — тоже одна задача. Попробуй сам собрать эти пары в интерактиве справа, вкладка «Докажи или опровергни».

        💡 Из жизни: «Доказать, что подозреваемый виновен» и «Опровергнуть, что он
        невиновен» — следователю в обоих случаях нужно найти одни и те же улики. Слова разные,
        а работа одна и та же.
      

Итог

Отрицание высказывания о существовании есть общее высказывание: «существует» превращается в «ни один… не» (то же самое, что «все… не»).
Опасно вставлять «не» куда попало — легко получить снова высказывание о существовании, а не его настоящее отрицание.
«Доказать $a$» — та же задача, что «опровергнуть $\lnot a$»; «Доказать $\lnot a$» — та же задача, что «опровергнуть $a$».

🧠 Запомни: «Существует $A$ со свойством $P$» → отрицание: «Ни один $A$ свойством $P$ не обладает».

← Глава 1, §1 · п.2 Отрицания общих высказываний Все темы Глава 1, §2 · п.1 → Понятие переменной величины

Разбираем высказывания о существовании одно за другим: смотри, как «существует» превращается в «ни один… не»

Высказывание о существовании	Отрицание (общее)

Кликни по двум карточкам, которые означают одну и ту же задачу

Выбери первую карточку

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится