Математика · 6 класс · Глава 1, §2, п.1

Понятие переменной величины. Выражения с переменными

Бланк с прочерками

Когда заполняешь анкету или справку, там есть прочерки: «Выдана гражданину ____________», «Дата рождения ____________». Пока прочерки не заполнены — это просто бланк, годный для кого угодно. Как только вписали конкретное имя и дату — бланк стал документом, который относится к одному конкретному человеку.

💡 Из жизни: Три справки с одним и тем же текстом, но разными именами в прочерках — это как одно и то же буквенное выражение, в которое каждый раз подставили разные числа. Сам бланк (правило) один, а результат — разный.

В математике роль прочерка играет буква. Буквы в выражениях — символы, вместо которых можно подставлять числа. Такие буквы называют переменными величинами, или переменными, в отличие от цифр и знаков действий — «постоянных» символов математического языка.

Определение. Переменной величиной, или переменной, называют буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого множества. Каждый элемент этого множества называют значением переменной.

Само буквенное выражение с такими буквами называют выражением с переменными. Например, $a^2 + 3a$ — выражение с переменной $a$, а $(5x - y):10$ — выражение с переменными $x$ и $y$.

Как вычислить значение выражения с переменной

После того как буквы заменили числами, выражение становится обычным числовым, а его значение — числом. Разбери на примере $a^2 + 3a$ при $a = 7$ — попробуй подвигать ползунок в интерактиве справа.

1
Подставляем $a = 7$ вместо буквы: $a^2 + 3a \to 7^2 + 3 \cdot 7$.
2
Считаем степень: $7^2 = 49$.
3
Считаем произведение: $3 \cdot 7 = 21$.
4
Складываем: $49 + 21 = 70$. Значит, значение выражения $a^2+3a$ при $a=7$ равно $70$.

Так же и с несколькими переменными: если $x = 4$, $y = 2$, то $$(5x - y):10 = (5\cdot4 - 2):10 = (20-2):10 = 18:10 = 1{,}8.$$

⚠️ Частая ошибка. $a^2$ — это $a \cdot a$ (число, умноженное само на себя), а вовсе не $a \cdot 2$. При $a=7$ верно $7^2 = 49$, а не $14$. Показатель степени говорит, сколько раз число умножается само на себя, а не на что его умножить.

Переменные показывают, как всё связано

Может показаться, что «переменная» — понятие чисто математическое. На самом деле в окружающем мире многие величины связаны друг с другом: стоимость покупки уменьшается, если уменьшилась цена товара; время работы растёт, если производительность падает. Переменная позволяет наглядно записать такие зависимости формулой, таблицей и графиком.

1
Пешеход идёт с постоянной скоростью $3$ км/ч. Путь $s$, пройденный за время $t$, — это $s = 3t$. Чем больше время движения, тем больше пройденный путь.
2
Площадь квадрата $S$ со стороной $a$ равна $S = a^2$. Здесь зависимость уже не прямо пропорциональная — график не прямая, а кривая линия.

В обеих формулах одна буква — независимая переменная ($t$ или $a$ — её можно выбирать произвольно), а вторая — зависимая ($s$ или $S$ — она вычисляется по первой). На графике независимую переменную обычно откладывают на горизонтальной оси, а зависимую — на вертикальной.

Подвигай точку на графике в интерактиве справа и посмотри, как меняются значения.

Итог

  • Переменная — буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого множества; каждый элемент множества — значение переменной.
  • После подстановки чисел вместо букв выражение с переменной становится обычным числовым выражением, а его значение — числом.
  • Переменные удобны не только в математике: с их помощью формулой, таблицей и графиком описывают реальные зависимости величин друг от друга.
🧠 Запомни: переменная — это буква вместо числа; выражение с переменной — «бланк с прочерком»; после подстановки числа получаем конкретное значение выражения.
← Глава 1, §1 · п.3 Отрицания высказываний о существовании Все темы Глава 1, §2 · п.2 → Предложения с переменными

Двигай ползунки — значение выражения пересчитывается сразу

$a^2 + 3a$
7
$a^2 + 3a$ = 7² + 3·7 = 70
$(5x - y):10$
4
2
$(5x - y):10$ = (5·4 − 2):10 = 1,8

Перетащи точку по кривой — значения пересчитаются

$t = $ 2.0,   $s = $ 6.0
t01234
s036912
Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится